Variation der Konstanten

Die allgemeine Gestalt der inhomogenen linearen Differentialgleichung ist

$$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1}y'+a_n y = f ,$$ (4)

wobei $a_1,\dots,a_n$ reelle oder komplexe Konstanten sind, und $y:U\to\mathbb{R}$ eine gesuchte Funktion von einer offenen Menge $U\subset\mathbb{R}$ nach $\mathbb{R}$ ist, und $f:U\to\mathbb{R}$ eine gegebene stetige Funktion ist.

Es sei $y_1,\dots,y_n$ eine Basis für den Vektorraum der Lösungen, und $C_1,\dots,C_n:U\to\mathbb{R}$ stetig differenzierbare Funktionen, die das Gleichungssystem

$$C_1'y_1+\dots+C_n'y_n=0,$$

$$C_1'y_1'+\dots+C_n'y_n'=0,$$

$$\dots,$$

$$C_1'y_1^{(n-2)}+\dots+C_n'y_n^{(n-2)}=0,$$

$$C_1'y_1^{(n-1)}+\dots+C_n'y_n^{(n-1)}=f$$

erfüllen. Diese Funktionen können durch Lösen eines linearen Gleichungssystems und anschließend Integration gefunden werden. Es existiert immer eine Lösung des Gleichungssystems, weil die Wronskische Determinante ungleich 0 ist. Dann ist $C_1y_1+\dots+C_ny_n$ eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung 4.

Die Methode der Variation der Konstanten funktioniert auch, wenn $a_1,\dots,a_n$ keine reellen Konstanten, sondern stetige Funktionen von $U$ nach $\mathbb{R}$ sind. Wir werden später zeigen, daß $n$ Basislösungen für die homogene Gleichung existieren und daß die Wronskische Determinante auch in diesem Fall ungleich 0 ist.

Literatur:

[3, IV.16,V.24]