Reduktion der Ordnung von linearen Differentialgleichungen

Die allgemeine Gestalt der linearen Differentialgleichung von Ordnung $n$ mit variablen Koeffizienten ist

$$\forall t: y^{(n)}(t)+a_1(t)y^{(n-1)}(t)+\dots+a_{n-1}(t)y'(t)+a_n(t) y(t) = f(t) ,$$ (5)

wobei $y$ die gesuchte Funktion von $D\subset\mathbb{R}$ nach $\mathbb{R}$ ist, und $a_1,\dots,a_n,f:D\to\mathbb{R}$ gegebene stetige Funktionen sind.

Für $n=1$ ist die Methode der Trennung der Variablen anwendbar.

Für $n>1$ gibt es im allgemeinen keine Darstellung der Lösung durch Integrale (dies ist ein Resultat der Differential-Galoistheorie). Man kann aber die Ordnung reduzieren, wenn eine Lösung bekannt ist: Es sei $u:D\to\mathbb{R}$ eine Lösung der Differentialgleichung 5, die auf $D$ nirgends 0 ist. Dann setzt man $y=uz$ in die Gleichung 5 ein und vereinfacht. Nach einer Division durch $u$ erhält man eine Differentialgleichung der Ordung $n$ für $z$ , in welcher der Koeffiezient von $z$ Null ist. Diese Gleichung kann man auffassen als eine Gleichung für $z'$ der Ordnung $n-1$ .

Literatur:

[3, V.23]