Analyse von Gleichgewichtspunkten

Es sei $f:U\to\mathbb{R}$ eine differenzierbare Funktion. Dann ist die Richtungsableitung definiert als

$$\delta_F(f) = F_1\frac{\partial f}{\partial x_1}+\dots+F_n\frac{\partial f}{\partial x_n} .$$

Wenn $x:\mathbb{R}\to U$ eine Lösungskurve ist, dann ist $\delta_F(f)(\vec{x})$ die Ableitung der Funktion $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $t\mapsto f(x(t))$ .

Satz 15 (Ljapunov)   Es sei $p\in U$ ein Equilibrium. Wenn eine differenzierbare Funktion $f:U\to\mathbb{R}$ existiert, die bei $p$ ein globales Maximum annimmt, und deren Richtungsableitung auf $U\setminus\{p\}$ positiv ist, dann ist $p$ asymptotisch stabil. Eine solche Funktion heißt auch strenge Ljapunov-Funktion.

Bei Gleichgewichtspunkten ist die Richtungsableitung jeder Funktion gleich Null. Eine Funktion $f$ ist also dann strikt Ljapunov beim Gleichgewichtspunkt $p$ , wenn $p$ gleichzeitig lokales Maximum von $f$ und lokales Minimum von $\delta_F(f)$ ist.

Beweis. Die Lösungskurven können die Teilgebiete $\{ x\mid f(x)<a\}$ , wobei $a>f(p)$ ist, nie verlassen. Außerdem ist die Ableitung der Funktion $t\mapsto f(x(t))$ stets negativ für $x(t)\ne p$ , daher ist $\lim_{t\to\infty}x(t)=p$ für alle Lösungskurven. $\qedsymbol$

Satz 16   Es sei $p\in U$ ein Equilibrium, sodaß die Eigenwerte der Jacobi-Matrix bei $p$ $\frac{\partial F}{\partial(x_1,\dots,x_k)}\vert _p:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ alle positiven bzw. negativen Realteil haben. Dann ist $p$ asymptotisch stabil.

Definition 14   Ein Gleichgewichtspunkt, bei dem die Eigenwerte der Jacobi-Matrix Realteil ungleich Null haben, heißt hyperbolischer Gleichgewichtspunkt.

Satz 17 (Hartmann-Grobmann)   Es sei $p\in U$ ein hyperbolischer Gleichgewichtspunkt des Richtungsfelds bei $F:D\to\mathbb{R}^k$ . Es sei $J\in\mathbb{R}^{k\times k}$ die Jacobi-Matrix von $F$ bei $p$ . Dann ist $F$ bei $p$ lokal äquivalent zum linearen Richtungsfeld $x\mapsto Jx$ bei 0 .

Definition 15   Eine Senke ist ein asymptotisch stabiler Gleichgewichtspunkt. Eine Quelle ist ein instabiler Gleichgewichtspunkt, der bei der Multiplikation des Richtungsfelds mit $-1$ asymptotisch stabil wird. Ein Sattelpunkt ist ein hyperbolischer Gleichgewichtspunkt, der weder eine Quelle noch eine Senke ist.

Satz 18   Es sei $n\in\mathbb{N}$ , $D_1,D_2\subset\mathbb{R}^n$ zwei offene und zusammenhängende Gebiete, $F_1:D_1\to\mathbb{R}^n$ und $F_2:D_2\to\mathbb{R}^n$ zwei differenzierbare Richtungsfelder, $p_1\in D_1$ und $p_2\in D_2$ hyperbolische Gleichgewichtspunkte von $F_1$ bzw. $F_2$ . Dann ist $F_1$ bei $p_1$ lokal äquivalent zu $F_2$ bei $p_2$ , wenn die Anzahl der Eigenwerte der Jacobimatrix von $J(F_1)\vert _{p_1}$ mit positivem Realteil gleich der Anzahl der Eigenwerte der Jacobimatrix von $J(F_2)\vert _{p_2}$ mit positivem Realteil ist.

Es sei $m$ die Anzahl der Eigenwerte der Jacobimatrix von $J(F_1)\vert _{p_1}$ mit positivem Realteil. Wenn $m=0$ ist, dann ist $p_1$ eine Senke; wenn $m=n$ ist, ist $p$ eine Quelle; in allen anderen Fällen ist $p$ ein Sattelpunkt.

Im Fall $n=2$ sind alle Sattelpunkte lokal äquivalent. Für jeden Sattelpunkt gibt es 4 ausgezeichnete Orbits, zwei ``hineingehende'' und zwei ``hinausgehende'' Orbits.

Literatur:

[2, III.8.3,III.9.1,III.9.3]