Der Fluß eines Vektorfeld

Es sei $F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld mit beschränkter Ableitung (damit die Lipschitz-Bedingung erfüllt ist). Es sei $\phi:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ die Abbildung, die durch die Bedingungen $\phi(0,\vec{y})=\vec{y}$ for all $\vec{y}\in\mathbb{R}^n$ , $\frac{\partial\phi}{\partial t}(t,y)=F(\phi(t,y))$ definiert ist. Sie beschreibt die Lösung in Abhängigkeit von den Anfangswerten und ist daher stetig. Sie erfüllt die Funktionalgleichung

$$\phi(t_1+t_2,\vec{y})=\phi(t_1,\phi(t_2(\vec{y})) ,$$ (8)

insbesondere ist $\phi_t:R^n\to\mathbb{R}^n$ , $\phi_t(\vec{y})=\phi(t,\vec{y})$ invertierbar mit inverser Abbildung $\phi_{-t}$ . Die Abbildung $\phi$ heißt Fluß des Vektorfeldes $F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ .

Wenn das Richtungsfeld $F$ nicht Lipschitz-stetig ist, dann muß der Fluß nicht überall definiert sein. Wenn $F$ differenzierbar ist, dann ist die Lipschitz-bedingung zumindest lokal auf jeder kompakten Teilmenge erfüllt, und für jeden Punkt $\vec{y}\in\mathbb{R}^n$ ist der Fluß lokal in einer einen offenen Umgebung von $(0,\vec{y})$ definiert.

Satz 13   Es sei $U\subset\mathbb{R}^n$ offen und $F:U\to\mathbb{R}^n$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann ist der Fluß $\phi$ in seinem ganzen Definitionsbereich differenzierbar.

Beweis. Es sei $\vec{y}\in U$ fix gewählt. Es ist schon gezeigt, daß $\phi$ stetig ist, außerdem existiert die ``Zeitableitung'' $\frac{\partial \phi}{\partial t}(t,\vec{y})=F(t,\phi(t,\vec{y}))$ . Es reicht zu zeigen, daß die ``Raumableitung'' $\frac{\partial \phi}{\partial \vec{y}}$ existiert und stetig ist (der Wert der Raumableitung ist eine lineare Abbildung von $\mathbb{R}^n$ nach $\mathbb{R}^n$ ). Wir zeigen nur den Fall $n=1$ .

Es sei $z\in U$ , $z\ne y(=\vec{y})$ . Es ist zu zeigen, daß die parameterabhängige Funktion $g_z:t\mapsto\frac{\phi(t,z)-\phi(t,y)}{z-y}$ für $z\to y$ konvergiert (der Grenzwert ist dann die Raumableitung). Die Abbildung $x\mapsto\phi(t,x)$ ist injektiv für alle $t$ im Definitionsbereich, daher ist $\phi(t,z)-\phi(t,y)\ne 0$ gilt. Es gilt

$${\partial t}g_z(t) = \frac{\partial_t\phi(t,z)-\partial_t\phi(t,y... ...,z)-\partial_t\phi(t,y)}{\phi(t,z)-\phi(t,y)}\frac{\phi(t,z)-\phi(t,y)}{z-y} .$$

Mit der Definition $v_z(t)=\frac{F(\phi(t,z))-F(\phi(t,y))}{\phi(t,z)-\phi(t,y)}$ erfüllt $g_z$ die Differenzialgleichung $g_z'(t)=v_z(t)g_z(t)$ und die Anfangsbedingung $g_z(0)=1$ . Dieses Anfangswertproblem ist linear, und nach Satz 12 ist der Grenzübergang $z\to y$ erlaubt. Da $F$ differenzierbar ist, ist $\lim_{z\to y}v_z(t)$ definiert und gleich $w(t):=F'(\phi(t,y))$ . Daher existiert auch die Raumableitung $h$ als Lösung des Anfangwertproblems $h'(t)=w(t)h(t), h(0)=1$ . $\qedsymbol$

Definition 12   Es sei $k$ eine positive ganze Zahl. Es seien $D_1,D_2\subset\mathbb{R}^k$ offene und zusammenhängende Mengen, $F_1:D_1\to\mathbb{R}^k$ und $F_2:D_2\to\mathbb{R}^k$ Vektorfelder, $p_1\in D_1$ und $p_2\in D_2$ . Wir sagen $F_1$ ist bei $p_1$ lokal topologisch äquivalent zu $F_2$ bei $p_2$ wenn für Umgebungen $U_1\subset D_1, p_1\in U_1$ und ein Homöomorphimus $f:U_1\to U_2$ existiert, der jede Lösungskurve in eine Lösungskurve abbildet, und der auf den Lösungskurven die lineare Ordnung erhält, die durch die Parametrisierung mit $t$ gegeben ist (informell ausgedrückt: der das Phasenbild inklusive Richtung der Pfeile erhält).

Definition 13   Es sei $k$ eine positive ganze Zahl, $D\subset\mathbb{R}^k$ eine offene und zusammenhängende Menge, $F:D\to\mathbb{R}^k$ ein differenzierbares Vektorfeld, und $p\in D$ ein Punkt sodaß $F(p)\ne 0$ ist. Eine Hyperebene $H\subset\mathbb{R}^k$ durch $p$ heißt transversal zu $F$ bei $p$ , wenn der Vektor $F(p)$ nicht in dem Vektorraum $H-\{p\}$ (Hyperebene $H$ verschoben, sodaß die durch den Nullpunkt geht) enthalten ist.

Satz 14   Es sei $k$ eine positive ganze Zahl, $D\subset\mathbb{R}^k$ eine offene und zusammenhängende Menge, $F:D\to\mathbb{R}^k$ ein differenzierbares Vektorfeld, und $p\in D$ ein Punkt sodaß $F(p)\ne 0$ ist. Dann ist $F$ bei $p$ lokal äquivalent zum konstanten Vektorfeld $(x_1,\dots,x_n)\to(1,0,\dots,0)$ bei $(0,\dots,0)$ .

Beweis. Es sei $H$ eine transversale Hyperebene. Dann ist die Flußabbildung $\phi$ eingeschränkt auf $\mathbb{R}\times H$ auf einer Umgebung von $(0,p)$ definiert und differenzierbar. Die Jacobi-Matrix bei $(0,p)$ ist nicht singulär, daher ist die Abbildung ein lokaler Homöomorphismus. Sie bildet die Lösungskurven des konstanten Vektorfelds (Geraden) auf Lösungskurven von $F$ ab. $\qedsymbol$

Es folgt, daß zwei Nicht-Gleichgewichtspunkte bei gleicher Dimension immer lokal äquivalent sind.

Literatur:

leider ist dieses Kapitel in keinem der beiden Bücher enthalten.