Mathematik
Die Kunst des effektiven Handelns

Bruno Buchberger
RISC (Research Institute for Symbolic Computation)
Johannes Kepler Universität, Linz / Schloss Hagenberg
Vortrag im MathSpace, Wien, 12. Mai 2005

Copyright Bruno Buchberger 2005

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Eine Entscheidung ohne Mathematik

Ist das derselbe Baum? Eine Entscheidung "auf einen Blick", durch Beobachten.

Eine Entscheidung ohne Mathematik

Fehlt kein Tier in meiner Herde? Eine Entscheidung "auf einen Blick", durch Beobachten.

Eine Entscheidung ohne Mathematik?

Fehlt kein Tier in meiner Herde? Nicht mehr "mit einem Blick" möglich.

Eine Entscheidung mit Mathematik

"Zähle" mit Steinchen!

"Zähle" nochmals mit Steinchen!

Mathematik = Arbeiten in Modellen

Modelle sind "abstrakt".

Weil Modelle abstrakt sind, sind sie so effizient.

Primitive Modelle sind für sehr große Realitäten zu wenig effizient

Ein besseres Modell

"Exponentiell" besser als das Steinchenmodell!  Warum?

Mathematik = "für alle" Wissen

"Für alle" Zahlen a, b, c:

a . ( b + c) = a . b + a . c

Mehr Wissen erlaubt effizienteres Handeln

2 7  ...   2  .  10   +  7  .  1

Unter Anwendung des obigen Wissens:

2 7  .   4   ...   (2  .  10   +  7  .  1)  .  
          4  = 
         
                   = 8  .  
              10  +   28.1  ... 

                 ...  8  .  
            10   +  2  .10  +  
        8.1  = 

                    = 10.  10  +  8.1  = 
          1.100  + 0.10 + 
              8.1  ... 

                  ... 108

Kurzschreibweise dieses Gedankenganges:

27 . 4
_______

108
  2

Wie erhält man "für alle" Wissen? Durch Denken!

Denken - Schließen - Beweisen: Reduzieren von komplizierterem Wissen auf einfacheres Wissen in Denkschritten, die so einfach sind, dass sie "jeder" überprüfen kann.

Zu beweisen:  a . ( b + c) = a . b + a . c

Beweis:

0.  (b + c) = 0,

0.  b + 0.  c = 0 + 0 = 0.

(a + 1) (b + c) = a . (b + c) + (b + c) = 
        a . b + a . c + b + c,

(a + 1) . b + (a + 1) c = a . b + b + a . c + c = 
        a . b + a . c + b + c.

Mathematik = Wissenserwerb durch Schließen

Nicht durch Beobachten!

Ob das einfachste Wissen "in der Welt" gilt, ist keine mathematische Frage.

Sondern umgekehrt: In den Realitäten, in denen man glaubt, dass das einfachste Wissen gilt, gilt dann auch alles erschlossene Wissen!

Mathematik ist eine relative Wissenschaft!

Mit anderen Worten: Beweisen ist das, was Mathematik charakterisiert

Überspitzt:

Warum ist die "wissenschaftliche" Methode so praktisch, obwohl Mathematik relativ ist?

Das "Wunder" der Mathematik:

Denke einmal in endlich vielen Denkschritten allgemein!

⇓

Du brauchst in beliebig ("unendlich") vielen konkreten Situationen nicht mehr zu denken.

Mit anderen Worten:

Einmal allgemein denken

⇓

in allen Anwendungen genügt "Rechnen".

Das Rechnen überlassen wir den Pferden (heute den Computern), denn ...

Der Computer ist selbst das Produkt von (sehr gründlichem und allgemeinen) mathematischen Denken!

Wie automatisiert man das allgemeine Denken?

Zahlen sprechen konkret über reale Gegenstände.

Gleichheiten wie a . (b+c) = a.b + a.c sprechen allgemein über (bzw. bearbeiten) Zahlen.

Die Theorie der "Polynome" spricht über (bearbeitet) Gleichheiten.

Beispiele von Polynomen:

a . b + a . c

(a^2) . b + 23  a . c - 17 a . (c^2)

Zwei fundamentale Fragen über Polynome:

Sind zwei Polynome "für alle" Werte der "Variablen" gleich?

Finde (alle) Werte der Variablen, für welche gegebene Polynome 0 werden?

Die zweite Frage ist die (viel) schwierigere. Millionen von Anwendungen in allen Wissenschaften. (Beispiele: Vortrag von H. Hauser! Robotik: Welche Steuerung an den Gelenken, um gewünschten Punkt anzufahren? U.v.a.)

Beispiel:

S = 
      Solve[{(a^2) b + 2  a c + b (c^2) == 0, 
          a (b^2) - a + c + 1 == 0, (b^2) + 2  a - c == 0}]

Die Methode (Algorithmus) dahinter:

GroebnerBasis[F]

Das Wissen dahinter: Hauptsatz der Theorie der Gröbner-Basen: (BB 1965, ...): Statt die unendlich vielen möglichen Reduktionen von Polynomen bzgl. der gegebenen Polynome zu betrachten, genügt es endlich viele "kritische" zu betrachten.

Die nächste Schichte:

Zahlen sprechen konkret über reale Gegenstände.

Gleichheiten wie a . (b+c) = a.b + a.c sprechen allgemein über (bzw. bearbeiten) Zahlen.

Die Theorie der "Polynome" spricht über (bearbeitet) Gleichheiten.

Das Rechnen von Gröbner-Basen kann im Gebiet der Geometrie dazu benutzt werden, um das Beweisen geometrischer Sätze völlig zu automatisieren:

Beispiel einer Anwendung: Pappus Theorem

Graphisch

Seien A, B,  C und A1, B1,  C1 auf zwei Geraden und seien P = A B1 ⋂ A1 B, Q = A C1 ⋂ A1 C, S = B C1 ⋂ B1 C. Dann sind P, Q, und S kollinear.

In der Sprache der Geometrie  (Dissertation Dr. Judit Robu)

Proposition["Pappus",  any[A, B, A1, B1, C, C1, P, Q, S], 
      point[A, B, A1, B1] ∧ pon[C, line[A, B]] ∧ 
          pon[C1, line[A1, B1]] ∧ 
          inter[P, line[A, B1], line[A1, B]] ∧ 
          inter[Q, line[A, C1], line[A1, C]] ∧ 
          inter[S, line[B, C1], line[B1, C]] \[Implies] 
        collinear[P, Q, S]]

Prove[Proposition["Pappus"], by -> GeometryProver, 
      ProverOptions -> {Method -> "GroebnerProver", 
          Refutation -> True}]

Der automatisch erzeugte Beweis

Also: Mathematik ist "vielschichtig"

Die Automatisierung der Mathematik geschieht auf immer höheren Schichten.

Mathematik führt zur Trivialisierung von Mathematik.

Jüngstes Resultat: Gröbner-Basen-Algorithmus wurde durch ein neues Algorithmen-Synthese-Verfahren (BB 2004) automatisch synthetisiert und bewiesen ...

Glücklicherweise: Je mehr Mathematik durch mehr Mathematik trivialisiert wird, um so mehr nicht trivialisierte Mathematik tut sich auf.

Mathematik als Kunst des effizienten Handels ist im Zentrum des Computer-Zeitalters

Beispiel:   Mathematik ⟶  Logik  ⟶  Computer  ⟶  Anwendungen

Beispiel:   Softwarepark Hagenberg, siehe .ppt File.

Das Management von Bootstrapping-Prozessen ist vielschichtige "Mathematik".

Antwort auf die Fragen

Ist Mathematik das Hobby bleicher Exzentriker oder Schlüsseltechnologie des technischen Zeitalters?

Ist Mathematik eine Orchideen-Wissenschaft oder wirtschaftliche Zukunftssicherung für Österreich?

Gehört Österreichs Mathematik zur Weltspitze oder rangiert sie unter “ferner liefen”?

Sollen Politiker, Priester, Manager und Ärzte Mathematik lernen?

Ist Mathematik cool für Internetgeneration und Jetset?

Literatur zum Vortrag

On Gröbner Bases

[Buchberger 1970]
B. Buchberger. Ein algorithmisches Kriterium für die Lösbarkeit eines algebraischen Gleichungssystems (An Algorithmical Criterion for the Solvability of Algebraic Systems of Equations). Aequationes mathematicae 4/3, 1970, pp. 374-383. (English translation in: [Buchberger, Winkler 1998],  pp. 535 -545.) Published version of the PhD Thesis of B. Buchberger, University of Innsbruck, Austria, 1965.

[Buchberger 1998]
B. Buchberger. Introduction to Gröbner Bases. In: [Buchberger, Winkler 1998], pp.3-31.

[Buchberger, Winkler, 1998]
B. Buchberger, F. Winkler (eds.). Gröbner Bases and Applications, Proceedings of the International Conference "33 Years of Gröbner Bases", 1998, RISC, Austria, London Mathematical Society Lecture Note Series, Vol. 251, Cambridge University Press, 1998.

[Becker, Weispfenning 1993]
T. Becker, V. Weispfenning. Gröbner Bases: A Computational Approach to Commutative Algebra, Springer, New York, 1993.

On Mathematical Knowledge Management

B. Buchberger, G. Gonnet, M. Hazewinkel (eds.)
Mathematical Knowledge Management.
Special Issue of Annals of Mathematics and Artificial Intelligence, Vol. 38, No. 1-3, May 2003, Kluwer Academic Publisher, 232 pages.

A.Asperti, B. Buchberger, J.H.Davenport (eds.)
Mathematical Knowledge Management.
Proceedings of the Second International Conference on Mathematical Knowledge Management (MKM 2003), Bertinoro, Italy, Feb.16-18, 2003, Lecture Notes in Computer Science, Vol. 2594, Springer, Berlin-Heidelberg-NewYork, 2003, 223 pages.

A.Asperti, G.Bancerek, A.Trybulec (eds.).
Proceedings of the Third International Conference on Mathematical Knowledge Management, MKM 2004,
Bialowieza, Poland, September 19-21, 2004,  Lecture Notes in Computer Science, Vol. 3119, Springer, Berlin-Heidelberg-NewYork, 2004

On Theorema

[Buchberger et al. 2000]
B. Buchberger, C. Dupre, T. Jebelean, F. Kriftner, K. Nakagawa, D. Vasaru, W. Windsteiger. The Theorema Project: A Progress Report. In: M. Kerber and M. Kohlhase (eds.), Symbolic Computation and Automated Reasoning (Proceedings of CALCULEMUS 2000, Symposium on the Integration of Symbolic Computation and Mechanized Reasoning, August 6-7, 2000, St. Andrews, Scotland),  A.K. Peters, Natick, Massachusetts, ISBN 1-56881-145-4, pp. 98-113.

On Theory Exploration and Algorithm Synthesis

[Buchberger 2000] 
B. Buchberger. Theory Exploration with Theorema. 
Analele Universitatii Din Timisoara, Ser. Matematica-Informatica, Vol. XXXVIII, Fasc.2, 2000, (Proceedings of SYNASC 2000, 2nd International Workshop on Symbolic and Numeric Algorithms in Scientific Computing, Oct. 4-6, 2000, Timisoara, Rumania, T. Jebelean, V. Negru, A. Popovici eds.), ISSN 1124-970X, pp. 9-32.

[Buchberger 2003] 
B. Buchberger. Algorithm Invention and Verification by Lazy Thinking.
In: D. Petcu, V. Negru, D. Zaharie, T. Jebelean (eds), Proceedings of SYNASC 2003 (Symbolic and Numeric Algorithms for Scientific Computing, Timisoara, Romania, October 1–4, 2003), Mirton Publishing, ISBN 973–661–104–3, pp. 2–26.

[Buchberger, Craciun 2003]
B. Buchberger, A. Craciun. Algorithm Synthesis by Lazy Thinking: Examples and Implementation in Theorema. in: Fairouz Kamareddine (ed.),  Proc. of the Mathematical Knowledge Management Workshop, Edinburgh, Nov. 25, 2003, Electronic Notes on Theoretical Computer Science,  volume dedicated to the MKM 03 Symposium, Elsevier, ISBN 044451290X, to appear.

[Buchberger 2004]
B. Buchberger. 
Towards the Automated Synthesis of a Gröbner Bases Algorithm.
RACSAM (Review of the Royal Spanish Academy of Science), Vol. 98/1, to appear, 10 pages.