% rueckf. linear
% stabil & nicht as
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\begin{document}

\section*{\"Ubung 14 (27.1.2019)}

{\bf Beispiel 4.}
Das Vektorfeld $F:(x,y)\mapsto (x-x^3-y^3,y+x^3-y^3)$ hat nur ein einziges Equilibrium in $(0,0)$ (wie man mit Mathematica ode Maple
zeigen kann). Es sei $g:(x,y)\mapsto x^4+y^4$. Man berechne $\partial_F(g)$ und zeige, dass es einen kompakten Bereich $K$ gibt, aus
dem die L\"osungen nicht entkommen k\"onnen (Fangbereich). Man folgere, dass $F$ einen Zykel enth\"alt.

\medskip

F\"ur die vektorielle Ableitung erhalten wir
\[ \partial_F(g) = \left\langle {x-x^3-y^3 \choose y+x^3-y^3} \bigg\vert {4x^3\choose 4y^3} \right\rangle = 4x^2(1-x^2)+4y^2(1-y^2) . \]
Um einen Fangbereich zu konstruieren, gehen wir \"ahnlich vor wie bei der Untersuchung der Lorenz-Gleichung, Skriptum 13.2 (Chaos).
Es sei $E:=\{p\mid  \partial_F(g)(p)\ge 0\}$. Diese Menge ist enthalten im Quadrat $[-2,2]\times [-2,2]$, also kompakt.
Wir w\"ahlen $M$ so, dass $K:=\{ p\mid g(p)\le M\}$ die Menge $E$ enth\"alt -- also $M:=\max\{g(p)\mid p\in E\}$. 
Nun ist $K$ ein Fangbereich. Um das zu zeigen, nehmen wir indirekt an, dass eine L\"osung $f:[0,t_1]\to\R$ der Differentialgleichung
existiert mit $f(0)\in K$ und $f(t_1)\not\in K$. Die Funktion $h:=g\circ f:[0,t_1]\to\R$ h\"atte dann folgende Eigenschaften:
\begin{itemize}
\item Wenn $h'(t)\ge 0$ ist, dann folgt $f(t)\in E\subset K$ und daher $h(t)\le M$.
\item $h(0)\le M$ und $h(t_1)>M$.
\end{itemize}
So eine Funktion kann es nicht geben. Wenn $t_2\in[0,t_1]$ das Supremum aller $t\in[0,t_1]$ mit $h(t)\le M$ ist, gilt $h(t_2)<h(t_1)$,
$t_2<t_1$, und $f'(t)<0$ f\"ur alle $t\in (t_2,t_1)$, im Widerspruch zum Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Dieser Fangbereich enth\"alt ein Equilibrium $p_0=(0,0)$, aber dieses ist eine Quelle. Daher existiert eine Ljapunov-Funktion f\"ur
das umgedrehte Vektorfeld $-F$ auf einer Umgebung $U$ von $p_0$. Wenn man einen offenen Fangbereich f\"ur $-F$ aus $K$ herausnimmt,
hat man eine kompakten Fangbereich von $F$, der keine Equilibrien enth\"alt. Nach dem Satz von Poincare-Bendixsohn existiert
ein Grenzzykel.

Den Grenzzykel kann man mit einer Computer-Visualisierung ansehen. Es ist allerdings nicht klar, ob diese Kurve algebraisch ist,
das hei{\ss}t, ob eine polynomiale Gleichung daf\"ur existiert. 

\end{document} 

