% rueckf. linear
% stabil & nicht as
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\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
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\begin{document}

\section*{\"Ubung 14 (27.1.2019)}

{\bf Beispiel 1.} Es sei $g:\R^2\to\R^2$, $(x,y)\mapsto (1-x^2+y)(1-x^2-y)$. Es sei 
\[ F:\R^2\to\R^2, \ (x,y) \mapsto \left(-\frac{\partial g(x,y)}{\partial y}-g(x,y)\frac{\partial g(x,y)}{\partial x},\frac{\partial g(x,y)}{\partial x}-g(x,y)\frac{\partial g(x,y)}{\partial y} \right) . \]
Man berechne $\partial_F(g)$. Danach bestimme man die Equilibrien, klinen Orbits, und das asymptotische Verhalten der L\"osungskurven.

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{\bf Beispiel 2.}
Man konstruiere ein Vektorfeld $(\R^2\setminus\{0,0\})\to\R^2$ mit genau zwei asymptotischen stabilen Zyklen.

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{\bf Beispiel 3.}
Man berechne f\"ur beliebiges $k\in\N$ die Anzahl der Zyklen mit minimaler Periode f\"ur die Iterationen der
Hufeisen-Abbildung von Abschnitt 13.2.

\medskip

{\bf Beispiel 4.}
Das Vektorfeld $F:(x,y)\mapsto (x-x^3-y^3,y+x^3-y^3)$ hat nur ein einziges Equilibrium in $(0,0)$ (wie man mit Mathematica ode Maple
zeigen kann). Es sei $g:(x,y)\mapsto x^4+y^4$. Man berechne $\partial_F(g)$ und zeige, dass es einen kompakten Bereich $K$ gibt, aus
dem die L\"osungen nicht entkommen k\"onnen (Fangbereich). Man folgere, dass $F$ einen Zykel enth\"alt.

\end{document} 

