% rueckf. linear
% stabil & nicht as
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\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\setlength{\parindent}{0 mm}

\begin{document}

\section*{\"Ubung 13 (22.1.2019)}

{\bf Beispiel 1.}
Die Funktion 
\[ f:\R\to [0,1], w\mapsto \frac{1-\cos(w)}{2} \]
erf\"ullt die Gleichung $f(2x) = 4f(x)(1-f(x))$. Man verwende diese Gleichung, um f\"ur beliebiges $k$ die $k$-Zyklen der
Funktion $x\mapsto 4x(1-x)$ zu berechnen.

\medskip
{\bf Beispiel 2.}
Man finde Grenzzyklen f\"ur das parameterabh\"angige Vektorfeld 
\[ F_\lambda:\R^2\to\R^2, \ (x,y)\mapsto (-y+\lambda \sin(10x), x) \]
mit dem Python-Script {\tt http://www.risc.jku.at/people/jschicho/dg/ue132.txt}. Die Voreinstellung ist $\lambda = 0.3$ -- um den Wert zu \"andern, 
muss er in Zeile 17 ge\"andert werden. Grenzzyklen werden sichtbar, wenn viele zuf\"allige Anfangspunkte annimmt und dann eine kurze Zeit
abwartet (rote Punkte hinterlassen keine Spuren, weisse schon, das hei{\ss}t man muss die roten nehmen). Grenzzyklen f\"ur
$t\to-\infty$ werden sichtbar, wenn man das Vorzeichen des Vektorfelds \"andert (Kommando {\em r}). Der Fall $\lambda=0$ kann exakt behandelt werden.

\medskip

{\bf Beispiel 3.}
Es sei $F:\R^2\to\R^2$ das Vektorfeld $(x,y)\mapsto (-x+y,-x-y)$. Es sei $U\subset (0,\infty)\times\R$ und $H=\{ (t,0)\mid t>0\}$.
Man berechne die Poincare-Abbildung $\Phi:H\to H$.

\medskip

{\bf Beispiel 4.}
Man transformiere das Vektorfeld 
\[ F:\R^2\to\R^2, (x,y) \mapsto ((1-x^2-y^2)x -y, (1-x^2-y^2)y+x) \]
in Polarkoordinaten. Man zeige, dass ein Grenzzykel existiert.

\end{document} 

