% rueckf. linear
% stabil & nicht as
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\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\setlength{\parindent}{0 mm}

\begin{document}

\section*{\"Ubung 11 (11.1.2019)}

{\bf Beispiel 1 (Lotka-Volterra).}
Es sei $X=(0,\infty)^2\subset\R^2$ und $F:X\to\R^2$ das Vektorfeld $(x,y)\mapsto (x(1-y),y(x-1))$.
Es sei $G:\R^2\to\R^2$ das Vektorfeld $(x,y)\mapsto (-y,x)$. Man zeige, dass $F$ und $G$ topologisch
equivalent sind (durch Konstruktion eines Hom\"oomorphismus, der Integralkurven von $F$ auf Integralkurven
von $G$ abbildet).

\smallskip
{\em Bemerkung:} Wenn ein Vektorfeld mit einer periodischen L\"osung in ein anderes transformiert wird,
dann erh\"alt die Transformation die minimale Periode (also die kleinste positive Zahl $T$, sodass $f(t+T)=f(t)$ ist)
der L\"osung. Man kann beobachten, dass $F$ verschiedene minimale Perioden hat; andererseits
sind bei $G$ alle minimalen Perioden gleich. Daraus folgt, dass $F$ und $G$ nicht transformations-equivalent sind.

\medskip

{\bf Beispiel 2.}
Es sei $\lambda<0$, $L:=\begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}$. 
Man finde eine positiv definite symmetrische Matrix $B\in\R^{2\times 2}$, soda{\ss}
\[ \forall v\in\R^2\setminus (0,0): \ \langle v \mid Lv \rangle_B < 0 \]
gilt.

\medskip

{\bf Beispiel 3.}
Es sei $F:\R^2\to\R^2$ das Vektorfeld $(x,y)\mapsto \left(-\frac{x}{2}+y^2,-\frac{y}{2}+x^2 \right)$
(Python-Visualisierung {\tt http://www.risc.jku.at/people/jschicho/dg/ue113.py}). 

a) Man bestimme eine Ljapunov-Funktion f\"ur das Equilibrium $p_0=(0,0)$
(also eine differenzierbare Funktion $g:\R^2\to\R$, die bei $p_0$ ein isoliertes lokales Minimum hat,
und deren vektorielle Ableitung bei $p_0$ ein isoliertes lokales Maximum hat).

b) Man bestimme eine offene Umgebung $W$ von $p_0$, sodass f\"ur alle $p\in W$ gilt: 
\[ \forall t>0: \phi_F(t,p)\in W,\ \lim_{t\to\infty} \phi_F(t,p) = p_0 . \]

{\bf Beispiel 4.}
Es sei $F:\R^2\to\R^2$ das Vektorfeld $(x,y)\mapsto (-x+y^2+x^3,-y)$. Wie in Beispiel~3:

a) Man bestimme eine Ljapunov-Funktion f\"ur das Equilibrium $p_0=(0,0)$.

b) Man bestimme eine offene Umgebung $W$ von $p_0$, sodass f\"ur alle $p\in W$ gilt:
\[ \forall t>0: \phi_F(t,p)\in W,\ \lim_{t\to\infty} \phi_F(t,p) = p_0 . \]

\end{document} 

