% rueckf. linear
% stabil & nicht as
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\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\setlength{\parindent}{0 mm}

\begin{document}

\section*{\"Ubung 10 (11.12.2018)}

{\bf Beispiel 1.}
Es sei $n\in\N$.
Es sei $F:[0,1]:\R^n$ stetig differenzierbar mit Lipschitz-Konstante $L$ und beschr\"ankt durch $M$, $x_0\in\R^n$.
Im {\em Zweischritt-Verfahren} unterteilen wir $[0,1]$ in $N$ Teilintervalle der L\"ange $1/N$ und definieren rekursiv
\[ z_i = y_i+\frac{F(y_i)}{2N}, \ y_{i+1} = y_i+\frac{F(z_i)}{N} ,\ y_0 = x_0  \]
und definieren die Funktion $g:[0,1]\to\R^n$ st\"ucksweise stetig; auf dem Teilintervall $[i/n,(i+1)/n]$ ist
\[ g(t) = y_i+(t-i/N)F(z_i) . \]
Man berechne eine Schranke f\"ur $||g-P(g)||$, die von $L$, $M$, und $N$ abh\"angt, 
wobei $P:C^0([0,1],\R^n)\to C^0([0,1],\R^n)$ der Picard-Lindel\"of-Operator
\[ h \mapsto (t\mapsto x_0+\int_0^t F(h(s)) ds )\]
ist.

\medskip

{\bf Beispiel 2.}
Es sei $F:\R^2\to\R^2$ das Richtungsfeld $(x,y)\mapsto (-y-x/2,x-y/2)$. Man wende die Koordinatentransformation
\[ \alpha:\R^2\to\R^2, \ (u,v)=\alpha(x,y)=(x-y^2,y), \ \alpha^{-1}(u,v)=(u+v^2,v) \]
an und berechne das transformierte Vektorfeld. Man vergleiche das Resultat mit der Visualisierung durch das
Programm {\tt http://www.falstad.com/vector/}.

\medskip

{\bf Beispiel 3.}
Es seien $F,G:\R^2\to\R^2$ die Vektorfelder
\[ F(x_1,x_2) = (x_1/3,x_2/5) , \ \ G(y_1,y_2) = (y_1,y_2) . \]
Es sei $X:=\R^2\setminus\{(0,0)\}$.

a) Man zeige, dass sie Funktion $\tau:X\to X$, $(x_1,x_2)\mapsto (x_1^3,x_2^5)$ das Vektorfeld $F\mid_X$ in das
Vektorfeld $G\mid_X$ transformiert.

b) Man zeige, dass $F$ und $G$ nicht transformations-equivalent sind.

\medskip

{\bf Beispiel 4.}
Es sei $X:=(0,\infty)$ und $F:X\to\R$ das Vektorfeld $x\mapsto x^2$. Der Fluss von $F$ ist 
\[ \varphi(t,x) = \frac{x}{1-tx} \]
(siehe \"Ubung~8.3). Man transformiere das Vektorfeld $F$ mit der Umkehrfunktion der Funktion $y\mapsto x=\varphi(1,y)$.

\end{document} 

