% rueckf. linear
% stabil & nicht as
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\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\setlength{\parindent}{0 mm}

\begin{document}

\section*{\"Ubung 9 (6.12.2018)}

{\bf Beispiel 1.}
Man zeige, dass sie Funktion $\R\to\R$, $x\mapsto \sqrt{|x|}$ nicht Lipschitz-stetig ist.

\medskip

{\bf Beispiel 2.}
Man bestimme den Picard-Lindel\"of-Operator $P:C^0(\R,\R)\to C^0(\R,\R)$ f\"ur das AWP f\"ur $f:\R\to\R$,
\[ \forall t:\ f'(t) = tf(t), f(0)=1 . \]
Die Folge $(f_n)_n$ von Funktionen $[-1,1]\to\R$ sei definiert durch $f_0:t\mapsto 0$, und
$\forall n\in\N: f_{n+1}=P(f_n)$.
Man berechne die ersten f\"unf Folgenglieder.

\medskip

{\bf Beispiel 3.}
Lesen Sie den Auszug aus I. Lakatos: {\em Proofs and refutations}, Cambridge University
Press, 1976 (Nachwort der Herausgeber J. Worrall und E. Zahar), verlinkt auf der Webseite der
Vorlesung, und beantworten Sie die folgenden Fragen:
\begin{enumerate}
\item Cauchy first proved that the limit of a convergent sequence of continuous functions is continuous.
	Did Fourier know a counterexample?
\item Abel mentions ``exceptions to Cauchy's theorem''. What was his answer to this paradoxon?
\item Which writers on history of mathematics attribute the idea of
	uniform convergence to Abel? Why?
\end{enumerate}

\medskip

{\bf Beispiel 4.}
Man bestimme alle Polyome der der Form $X^3+X^2+X+a_0\in\R[X]$, $a_0\in\R$, deren komplexe Nullstellen
(inklusive den reellen Nullstellen) negativen Realteil haben. 


\end{document} 

