% rueckf. linear
% stabil & nicht as
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\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\setlength{\parindent}{0 mm}

\begin{document}

\section*{\"Ubung 8 (27.11.2018, 9:15-10:00, BA 9910)}

{\bf Beispiel 1.}
Es sei $D=(0,\infty)$. Es seien
\[ B: D \to \R^{2\times 2}, t\mapsto = \begin{pmatrix} 1 & t^{-1} \\ t & -1 \end{pmatrix}, 
  A :D \to \R^{2\times 2}, t\mapsto B'(t)B(t)^{-1}, \ b:D\to\R^2,\ t\mapsto {1\choose t} . \]
Man berechne die allgemeine L\"osung der Differentialgleichung f\"ur $f:D\to\R^2$:
\[ \forall t\in D: \ f'(t) = A(t)f(t)+b(t) . \]
{\tiny Hinweis: $B$ ist genau die matrix-wertige L\"osung der homogenen Differentialgleichung.}

\medskip

{\bf Beispiel 2.}
Es sei $f:\R\to\R^2$ die L\"osung des Anfangswertproblems
\[ \forall t: f'(t) = \begin{pmatrix} -7 & 4 \\ 12 & 7 \end{pmatrix} , \ f(0) = {\lambda \choose 1} , \]
wobei $\lambda$ ein reeller Parameter ist. Gibt es ein $\lambda\in\R$, sodass $\lim_{t\to\infty} f(t)$ existiert?
Wenn ja, gebe man ein solches $\lambda$ an.

\medskip

{\bf Beispiel 3.}
Man berechne die Fl\"usse -- inklusive Definitionsbereich -- f\"ur die beiden Vektorfelder
\[ F_1,F_2: \R\to\R, \ F_1(x) = x^2,\ F_2(x) = x^2+1 . \]

\medskip

{\bf Beispiel 4.} 
Es sei $T\subset\R$ zusammenh\"angend, $F:T\times\R^2\to\R$ stetig. Es sei $t_0\in T$ und $x_0,x_1\in\R$.
Man adaptiere den Satz von Picard/Lindel\"of f\"ur das Anfangswortproblem f\"ur $f:T\to\R$
\[ \forall t\in T: f''(t) = F(t,f(t),f'(t)) ,\ f(t_0)=x_0,f'(t_0)=x_1 \]
und beweise die adaptierte Version. 

{\tiny Hinweis: es ist nicht notwendig, den Beweis zu adaptieren; man kann die neue Version auch auf
die bereits bewiesene Version zur\"uckf\"uhren.}

\end{document} 

