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Ubung
7 (20.11.2018)
Beispiel 1. Man berechne eAr t , t ∈ R, f¨
ur r = 1, 2, 3.


1 0 0
3 1
A1 =
, A2 = 0 2 0 , A3 =
−2 0
1 0 3

−12 −16
.
9
12

Im Fall von A3 wird empfohlen, nicht die Methode der Jordan-Normalform zu verwenden, sondern
die Exponentialreihe direkt zu berechnen.
Beispiel 2. Man zeige: die folgende Umkehrung des Rechengesetzes 3 f¨
ur Exponentialmatrizen:
Wenn
∀t : e(A+B)t = eAt eBt
gilt, dann gilt AB = BA.
Hinweis: man berechne die zweiten Ableitungen der beiden Seiten der Gleichung bei t = 0.
Beispiel 3. a) Es sei k ∈ N. Es sei K ⊂ Rk eine kompakte Teilmenge. Es sei F : K → K stetig
differenzierbar. Man zeige, dass F Lipschitz-stetig ist.
b) Man gebe eine Lipschitz-stetige Funktion an, die nicht u
¨berall differenzierbar ist.
Beispiel 4. Man visualisiere mit dem Programm http://www.falstad.com/vector/ das Verhalten der L¨
osungen der Gleichung f¨
ur y : R → R2 , ∀x : y (x) = Ay(x), f¨
ur verschiedene 2 × 2Matrizen A (positive/negative/komplexe Eigenwerte, doppelte Eigenwerte, Eigenwerte mit Realteil 0). Unter user-defined field in der Setup-Leiste kann eine beliebige Funktion eingegeben
werden, daher insbesondere auch eine beliebige lineare Funktion. Interessant ist auch die Funktion
streamlines im Floor-Men¨
u, die die L¨osungskurven zeichnet.

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