% rueckf. linear
% stabil & nicht as
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\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\setlength{\parindent}{0 mm}

\begin{document}

\section*{\"Ubung 6 (13.11.2018)}

{\bf Beispiel 1.}
Man berechne die allgemeine L\"osung der Gleichung f\"ur $f:\R\to\R$
\[  f^{(9)}-2f^{(5)}+f' =  0 . \]

\medskip

{\bf Beispiel 2.}
Man berechne jeweils die allgemeine L\"osung der Differentialgleichung f\"ur $f:\R\to\R$
\[ a) \forall t: f''(t)+2 f'(t)+ f(t) = t . \]
\[ b) \forall t: f''(t)+f'(t) = \sin(t) . \]

\medskip

{\bf Beispiel 3.}
Es seien $a,b>0$. Man zeige, dass die Schwingungsgleichung
\[ \forall t: f''(t)+af'(t)+bf(t) = \sin(t) \]
eine periodische L\"osung $f_0$ hat, und dass jede L\"osung gegen $f_0$ konvergiert.

\medskip

{\bf Beispiel 4.} 
a) Es seien $a\ge 0$ und $b>0$. Man zeige, dass die Schwingungsgleichung f\"ur $f:\R\to\R$
\[ f''+af'+bf = 0 \]
im Nullpunkt ein stabiles Gleichgewicht hat.

b) Gibt es noch weitere Paare $(a,b)\in\R^2$, sodass die obige Schwingungsgleichung im Nullpunkt
ein stabiles Equilibrium hat?

\end{document} 

