% rueckf. linear
% stabil & nicht as
\documentclass{article}
\usepackage{a4wide,amssymb}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\setlength{\parindent}{0 mm}

\begin{document}

\section*{\"Ubung 5 (6.11.2018)}

{\bf Beispiel 1.}

In Kapitel~9 im Skriptum wird eine Rekursion auf $n$-Ecken untersucht.
Man erzeuge mit dem Programm {\tt http://www.risc.jku.at/people/jschicho/dg/ngpy} erzeuge man ein $n$-Eck
mit 50 bis 100 Ecken und f\"uhre Iterationsschritte durch. 

a) Welche Figur entsteht als Grenzwert, bei Schwerpunkt im Mittelpunkt und Vergr\"o{\ss}erungen zwischendurch?

b) Man gebe eine Formel f\"ur den betragsm\"a{\ss}ig gr\"o{\ss}ten Eigenwert der Iterationsmatrix an.

Das Programm wird mit python exekutiert. Die Befehle sind:
\begin{verbatim}
a       add a point
b       add last point
g       each vertex replaced by midpoint of neighbors
f       fast repeat of g
m       magnify 10%
s       shrink 10%
c       center (to get center of mass closer to the middle)
SPC     clear n-gon
q       quit
\end{verbatim}

\medskip

{\bf Beispiel 2.}
Die Fibonacci-Folge $f:\N\to\R$ definiert durch
\[ \forall t: f(t+2)-f(t+1)-f(t) = 0,\ f(0)=0, f(1)=1 \]
hat nur ganzzahlige Werte. Die L\"osungsformel
\[ f(t) = \frac{\sqrt{5}}{5} \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^t -
          \frac{\sqrt{5}}{5} \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^t  \]
zeigt, dass der erste Summand exponential nahe bei ganzen Zahlen ist: es existieren Konstanten
$c_1$ und $c_2\in (0,1)$, sodass die Differenz zur n\"achsten ganzen Zahl kleiner als $c_1c_2^t$ ist.

Man zeige, dass die Folge $\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^t\right)_t$ ebenfalls exponentiell nahe
bei ganzen Zahlen ist. 

{\tiny Hinweis: man konstriere eine Folge mit einer L\"osungsformel mit einem passenden Summanden.}

{\em Bemerkung:} Eine Pisot-Zahl ist eine algebraische Zahl mit der Eigenschaft, dass aller Nullstellen des 
Minimalpolynoms ausser der Zahl selbst Betrag kleiner als 1 haben (zum Beispiel $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$).
Es gilt allgemein, dass die Folge der Potenzen einer Pisot-Zahl exponentiell nahe bei ganzen Zahlen liegt.

\medskip

{\bf Beispiel 3.}

Man berechne eine geschlossene Formel f\"ur die allgemeine L\"osung der Rekursion f\"ur $f:\N\to\R$ 
\[ f(t+9)-2f(t+5)+f(t+1) = 0  .\]

\medskip

{\bf Beispiel 4} 
Man berechne eine geschlossene Formel f\"ur die Folge $f: \N\to\R$ definiert durch
\[ \forall t: f(t+3) = 12 f(t+2)-17f(t+1)-30 f(t), \ f(0)=1, f(1)=1, f(2)=5 . \]
Hier sollte zur Faktorisierung des charakteristischen Polynoms ein Computerprogramm verwendet werden.

\end{document} 

