% rueckf. linear
% stabil & nicht as
\documentclass{article}
\usepackage{a4wide,amssymb}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\setlength{\parindent}{0 mm}

\begin{document}

\section*{\"Ubung 4 (30.10.2018)}

{\bf Beispiel 1.}
Die Differentialgleichung f\"ur $f:\R\to\R$
\[ \forall t: f''(t)-2tf'(t)+2f(t) = 0 \]
besitzt eine nichttriviale L\"osung, die eine Polynomfunktion ist (von nicht sehr hohem Grad). Man gebe die allgemeine
L\"osung der Differentialgleichung an (oder equivalent dazu, zwei linear unabh\"angige L\"osungen).

\medskip

{\bf Beispiel 2.}
Man l\"ose die folgenden Differentialgleichungen f\"ur $f:(0,\infty)\to\R$ symbolisch.

a) $f'(t)=\frac{f(t)^2}{t^2}+\frac{f(t)}{t}$

b) $f'(t)=f(t)^2t^2+f(t)t$

\medskip

{\bf Beispiel 3} 
Man l\"ose die folgenden Differentialgleichungen f\"ur $f:\R\to\R$ symbolisch.

a) $f''(t)=f(t)+\sin(t)$

b) $f''(t)=f(t)^2$

\medskip

{\bf Beispiel 4.}
a) Die vektorwertige Funktion $t\mapsto {\cos(t) \choose \sin(t)}$ erf\"ullt eine Differentialgleichung der Form
$\forall t:f'(t)=Af(t)$ f\"ur eine eindeutig bestimmte Matrix $A$. Man finde $A$.

b) Man finde eine weitere linear unabh\"angige L\"osung der Differentialgleichung in (a) durch Verschiebung
in der $t$-Koordinate (das funktioniert, weil die Differentialgleichung autonom ist).

c) Man finde eine L\"osung f\"ur die Differentialgleichung f\"ur $g:\R\to\R^2$
\[ g'(t)-Ag(t) = {t \choose t} , \]
wobei $A$ die Matrix von (a) ist.


\end{document} 

