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% stabil & nicht as
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\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\setlength{\parindent}{0 mm}

\begin{document}

\section*{\"Ubung 3 (23.10.2018)}

{\bf Beispiel 1.}
Es sei $F:\R\to\R$ die Funktion gegeben durch 
\[ F(x)=-\left\{ \begin{array}{ll} (x+2)(x+1)^2x & \mbox{ falls } x\le 0 \\
                                     0 & \mbox{ falls } x\in [0,1] \\ 
                                     (x-1)^2(x-2) & \mbox{ falls } x\ge 1 \end{array} \right. \]
Es sei $f:\R\to\R$ eine L\"osung der Differentialgleichung $f'(t)=F(f(t))$. Man bestimme $\lim_{t\to\infty} f(t)$
in Abh\"angigkeit des Startwertes $f(0)$.

\medskip

{\bf Beispiel 2.}
Man skizziere die Bifurkationsdiagramme f\"ur die parameterabh\"angige Differentialgleichung f\"ur $f:\R\to\R$,
\[ \forall t: f'(t) = F_\lambda(t) \, \lambda\in\R, \]
in den F\"allen

a) $F_\lambda(t)=t(t^2+\lambda^2-1)$.

b) $F_\lambda(t)=(t-\lambda)(t^2+\lambda^2-1)$.

\medskip

{\bf Beispiel 3} (lokale Existenz bei TdV.)
Es seien $T\subset\R$ und $X\subset\R$ offene Intervalle, $t_0\in T$, $x_0\in X$. 
Es seien $a:X\to\R^\ast$ und $b:T\to\R$ stetige Funktionen. 
Man zeige, dass eine Umgebung $U$ von $t_0$ und eine Funktion $f:U\to X$ existieren, sodass 
beide Seiten der Differentialgleichung
\[ \forall t\in U: f'(t) = \frac{b(t)}{a(f(t))}  \]
definiert sind und sodass die Differentialgleichung erf\"ullt ist.

\medskip

{\bf Beispiel 4.}
Man gebe die allgemeine L\"osung f\"ur folgende Differentialgleichungen f\"ur $f:\R\to (0,\infty)$ an:

a) $\forall t: f'(t) = -\frac{t}{f(t)}$

b) $\forall t: f'(t) = \frac{\sinh(t)}{\sinh(f(t)}$

c) $\forall t: f'(t) = e^{t^2-f(t)^2}$ 

\end{document} 

