% rueckf. linear
% stabil & nicht as
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\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\setlength{\parindent}{0 mm}

\begin{document}

\section*{\"Ubung 2 (16.10.2018)}

{\bf Beispiel 1.}
Es sei $T=\R$.
Man f\"uhre die Differentialgleichung f\"ur $f:T\to\R$,
\[ \forall t\in\R: f'''(t)=f(t)^2f'(t)+\sin(t) \]
auf eine vektorwertige autonome Differentialgleichung erster Ordung zur\"uck.

\medskip

{\bf Beispiel 2.}
Es sei $q\in\R$. Die geometrische Reihe kann rekursiv definiert werden als System von Rekursionen
\[ \forall t\in\N: a(t+1)=qa(t),\ s(t+1)=s(t)+a(t) \]
mit Startwerten $a(0)=1$ und $s(0)=0$. Man schreibe das System als vektorwertige Rekursion in der
Form $(a,g)(t+1) = M\cdot (a,g)(t)$ und berechne einen geschlossenen Ausdruck f\"ur $M^n$, $n\in\N$.

\medskip

{\bf Beispiel 3.}
Man finde alle L\"osungen der Form $t\mapsto c_1t^{c_2}$, wobei $c_1,c_2\in\R, c_2>0$, 
der Differentialgleichung f\"ur $f:\R\to\R$
\[ \forall t: f'(t) = \sqrt[3]{f(t)} \]
mit Anfangswert $f(0)=0$. Gibt es dar\"uber hinaus noch weitere L\"osungen?

\medskip

{\bf Beispiel 4.}
Es sei $F:\R\to\R$ die Funktion gegeben durch $F(x)=-x\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ f\"ur $x\ne 0$ und $F(0)=0$.
(Diese Funktion ist stetig.) 
Es sei $f:\R\to\R$ eine L\"osung der Differentialgleichung $f'(t)=F(f(t))$. Man bestimme $\lim_{t\to\infty} f(t)$
in Abh\"angigkeit des Startwertes $f(0)$.


\end{document} 

