% rueckf. linear
% stabil & nicht as
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\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
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\begin{document}

\section*{\"Ubung 1 (9.10.2018)}

{\bf Beispiel 1.}
In der Vorlesung wurde gezeigt, wie eine nicht-autonome Differentialgleichung auf eine 
vektorwertige autonome Differentialgleichung zur\"uckgef\"uhrt werden kann (durch Einf\"uhrung einer Variablen
f\"ur die innere Zeit). Erh\"alt diese R\"uckf\"uhrung Linearit\"at? Man gebe einen Beweis oder
ein Gegenbeispiel.

\medskip

{\bf Beispiel 2.}
Es sei $T=\R$.
Man f\"uhre die Differemtialgleichung f\"ur $f:T\to\R$,
\[ \forall t\in\R: f''(t)=f(t)^2+f'(t)^2+t^2 \]
auf eine vektorwertige autonome Differentialgleichung erster Ordung zur\"uck.

\medskip

{\bf Beispiel 3.}
Es sei $n\in\N$ und $a_s01,\dots.a_{n-1}\in\R$. Man f\"uhre die Differentialgleichung f\"ur $f:\R\to\R$,
\[ \forall t: f^{(n)}(t)+a_{n-1}f^{(n-1)}(t)+\dots +a_1f'(t)+a_0f(t) = 0 \]
auf eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung zur\"uck.

\medskip

{\bf Beispiel 3.}
Man f\"uhre die inhomogene lineare Rekursion f\"ur $f:T\to\R^n$
\[ \forall t\in T: f(t+1)=A(t) f(t) + b(t) , \]
wobei $A:T\to \R^{n\times n}$ eine gegebene matrixwertige Funktion und $b:T\to\R^n$ eine gegebene vektorwertige Funktion ist,
auf eine homogene lineare Rekursion zur\"uck.



\end{document}

