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\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
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\begin{document}

\section*{\"Ubung 9 (17.1.2017)}

{\bf Beispiel 1 (Kettenlinie).} 
Eine Kette von gegebener L\"ange wird an zwei Punkten aufgeh\"angt. Die Form, die sie durch die Einwirkung der
Schwerkraft einnimmt, ist so, da{\ss} der Schwerpunkt der Kette so tief wie m\"oglich liegt. Die Formel f\"ur
die y-Koordinate des Schwerpunkts des Graphen der Funktion $f:[a,b]\to\R$ ist 
\[ y_s = \frac{\int_a^b f(t)\sqrt{1+f'(t)^2}dt}{\int_a^b \sqrt{1+f'(t)^2}dt} . \]
Man berechne eine Differentialgleichung einer Funktion, deren Graph die Form der Kette hat.

(Vom Versuch, die Gleichung zu l\"osen, wird definitiv abgeraten.)

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{\bf Beispiel 2 (Atwoods Pendel).}
Ein eben schwingendes Pendel wird \"uber zwei Rollen durch ein gleich schweres Gewicht nach gezogen
(siehe \url{https://www.youtube.com/watch?v=GKDSljuqE4o}). Man berechne die Differentialgleichung der
Bewegung des Pendels.

(Auch hier wird von L\"osungsversuchen abgeraten.)

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{\bf Beispiel 3 (Doppelpendel).}
An einem eben schwingenden Pendel wird ein zweites Pendel montiert, das in der gleichen Ebene schwingt
(siehe \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Double_pendulum}. Man berechne die Differentialgleichung der
Bewegung des Doppelpendels.

(Auch hier wird von L\"osungsversuchen abgeraten.)

\medskip
{\bf Beispiel 4.}
Ein Punkt mit Masse 1 bewegt sich in der Ebene $\R^2$ und wird dabei vom Nullpunkt angezogen. Die Potentialfunktion
h\"angt nur von der Entfernung zum Nullpunkt ab und l\"a{\ss}t sich daher in Polarkoordinaten als 
$r\mapsto U(r)$ mit $U:[0,\infty)\to\R$ stetig schreiben. 
Daraus ergibt sich f\"ur die Bewegung die Lagrange-Funktion 
\[ L(r,\dot{r},\phi,\dot{\phi})=\frac{\dot{r}^2}{2}+\frac{r^2\dot{\phi}^2}{2}-U(r). \]
Es sei $(R,\Phi):\R\to [0,\infty)\times \R$ eine L\"osung der Euler-Lagrange-Gleichung (also eine m\"ogliche
Bahn des Punktes).

Man berechne eine Differentialgleichung erster Ordnung f\"ur die Funktion $R$.

\tiny{Hinweis: Man verwende den Satz der Energie-Erhaltung und die Euler-Lagrange-Gleichung nach der Variablen
$\phi$ (die Lagrange-Funktion h\"angt nur von $\dot{phi}$, aber nicht von $\phi$ ab). Dann eliminiere man
die Koordinate $\Phi$.}

\end{document}

