\documentclass{article}
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\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\setlength{\parindent}{0 mm}

\begin{document}

\section*{\"Ubung 8 (9.1.2017)}

{\bf Beispiel 1.} 
Man suche kline Orbits f\"ur as Richtingsfeld $F:\R^2\to\R^2$, 
$(x,y)\mapsto (-xy,x^2+y^2-20)$. Verwenden Sie das Programm
{\tt http://www.falstad.com/vector/}. 

\medskip
{\bf Beispiel 2.}
Man berechne die Richtungsableitung von $G:\R^2\to\R, (x,y)\mapsto x^2+2y^2-40$ 
entlang des Richtungsfeldes $F$ von Beispiel~1.

\medskip
{\bf Beispiel 3.}
Es sei $H:[-1,1]\to [-1,1]$ die Funktion $x\mapsto 2x^2-1$. 
Man zeige, da{\ss} f\"ur jedes $n\in\N$
die Funktion $H^n$ ($n$-fache Iteration von $H$) genau $2^n$ Fixpunkte hat.  \\
{\tiny Hinweis: Eventuell ist die trigonometrische Identit\"at $2\cos(\alpha)^2-1=\cos(2\alpha)$
n\"utzlich.}

{\bf Beispiel 4.}
Es seien $s,r,b>0$ reelle Konstanten. 
Es sei $L:\R^3\to\R^3$ das Lorenz-Richtungsfeld $(x,y,z)\mapsto(-s(x-y),rx-y-xz,xy-bz)$.
Es sei $E:\R^3\to\R$ die Funktion $(x,y,z)\mapsto rx^2+sy^2+s(z-2r)^2$.

a) Man berechne die Richtungsableitung $\partial_LE$.

b) Man zeige, da{\ss} die Menge $J:=\{p\in\R^3 \mid \partial_LE(p)\ge 0$ kompakt ist.

c) Man zeige, da{\ss} f\"ur alle $p\in J$ gilt:
\[ E(p) \le r^2b+sr^2b+4sr^2 . \]

d) Man gebe einen sicheren Bereich f\"ur $L$ an, das hei{\ss}t, eine kompakte Menge $K$,
sodass f\"ur alle $p\in K$ und f\"ur alle $t>0$ der Fluss $\phi(t,p)$ im Inneren von $K$ liegt.


\end{document}

