\documentclass{article}
\usepackage{a4wide,amssymb,amsmath}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\setlength{\parindent}{0 mm}

\begin{document}

\section*{\"Ubung 8 (10.1.2017)}

{\bf Beispiel 1.} 
Man untersuche mit dem Programm {\tt http://www.falstad.com/vector/} das Richtungsfeld
\[ F(x,y) = (y+3sin(2x)/2,-x) . \]
Schieben Sie den Regler {\tt Field Strength} nach rechts (mindestens ins dritte Drittel). 
Ist ein Muster zu erkennen? Kehren Sie mit der Schaltfl\"ache {\tt Reverse} das Vorzeichen 
des Richtungsfeldes um. Welche Auswirkungen auf das Muster ist zu beobachten?

Erkl\"aren Sie, was die Beobachtung mit asymptotisch stabilen Zyklen zu tun hat.
\medskip

{\bf Beispiel 2.}
Gegeben sei das Richtungsfeld
\[ F:\R^2\to\R^2,\  (x,y)\mapsto (-x-y^2+x^3,-y+xy) . \]
Man zeige, da{\ss} die Funktion $L:(x,y)\mapsto x^2+y^2$ eine Ljapunov-Funktion in einer
Umgebung des Nullpunkts ist. 

Man bestimme eine beschr\"ankte Umgebung $U$ von $(0,0)$,
soda{\ss} $v\in U,t>0\implies \phi(t,v)\in U$ gilt.
\medskip

{\bf Beispiel 3.}
F\"ur $\lambda\in\R$ sei $F_\lambda:\R\to\R$, $x\mapsto x^2+\lambda$. 

a) Man zeige, da{\ss} $F_\lambda$ f\"ur $\lambda\in (-3/4,1/4)$ zwei Fixpunkte hat, von denen
einer stabil ist und der andere nicht.

b) Man zeige, da{\ss} $F_\lambda$ f\"ur $\lambda=-1$ einen stabilen 2-Zyklus hat.

\medskip

{\bf Beispiel 4.}
Die Lotka-Volterra-Gleichung f\"ur $x,y:\R\to\R$,
\[ \forall t: x'(t) = x(t)(1-y(t)), \ \ y'(t) =  y(t) (x(t)-1) \]
hat periodische L\"osungen, n\"amlich die H\"ohenlinien $\{(x,y)\mid x-\ln(x)+y-\ln(y) = c\}$, $c\ge 2$.
F\"ur welche Werte von $c$ ist der entsprechende Zyklus stabil bzw. asymptotisch stabil?

\end{document}

