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\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
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\begin{document}

\section*{\"Ubung 6 (6.12.2016)}

{\bf Beispiel 1.} 
Man berechne den Flu{\ss} des Richtungsfeldes $\R\to\R$, $x\mapsto x^2+1$. Insbesondere spezifiziere
man den Definitionsbereich. Man verifiziere die Funktionalgleichung
\[ \phi(s,\phi(t,x)) = \phi(s+t,x) \]
f\"ur alle $s,t,x$ soda{\ss} die linke Seite definiert ist.

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{\bf Beispiel 2.}
Es sei $n\in\N$. Es sei $A,B\in\R^{n\times n}$ \"ahnliche Matrizen. Man nehme an, da{\ss} f\"ur alle $v\in\R^n\setminus\{0\}$
die Ungleichung $\langle Bv,Bv\rangle < \langle v,v\rangle$ gilt.
Man zeige: es gibt ein positiv definites Skalarprodukt $\langle,\rangle_C:R^n\times\R^n$, soda{\ss} 
$\langle Av,Av\rangle_C < \langle v,v\rangle_C$ f\"ur alle $v\in\R^n\setminus\{0\}$ gilt.

\medskip

{\bf Beispiel 3.}
Es sei $\lambda\in (-1,1)$.
Man finde f\"ur die Jordan-Matrix 
\[ J=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
     0 & \lambda & \cdots & 0 & 0 \\
     \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
     0 & 0 & \cdots & \lambda & 1 \\
     0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda \end{pmatrix} \]
ein positiv definites Skalarprodukt $\langle,\rangle_C:R^n\times\R^n$, soda{\ss} 
$\langle Jv,Jv\rangle_C < \langle v,v\rangle_C$ f\"ur alle $v\in\R^n\setminus\{0\}$ gilt.

\medskip

{\bf Beispiel 4.}
Gegeben sei das Richtungsfeld
\[ F:\R^2\to\R^2,\  (x,y)\mapsto (-x-y+x^2,-y+x+y^2) . \]
Man zeige, da{\ss} die Funktion $L:(x,y)\mapsto x^2+y^2$ eine Ljapunov-Funktion ist. 

[Es folgt, da{\ss} der Punkt $(0,0)$ ein asymptotisch stabiles Equilibrium ist.] Man bestimme eine beschr\"ankte Umgebung $U$ von $(0,0)$,
soda{\ss} $v\in U,t>0\implies \phi(t,v)\in U$ gilt.

\end{document}

