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Ubung
5 (22.11.2016)
Beispiel 1. Welche der folgenden Funktionen Fn : R2 → R, n = 1, . . . , 4 erf¨
ullen eine Lipschitzbedingung in der zweiten Variable? Man gebe in diesen F¨allen jeweils eine Lipschitz-Konstante an.
F1 (x, y) = sin(x + y), F2 (x, y) = x2 y + y − 1, F3 (x, y) = |x + y|, F4 (x, y) = xy
Beispiel 2. Es seien n ∈ N, T = R, Es sei F : T × Rn → Rn stetig in der ersten Variable und
Lipschitz-stetig mit Lipschitzkonstante L in der zweiten Variable. Es seien f und g L¨osungen der
Differentialgleichung ∀t : y (t) = F (t, y(t)) f¨
ur y : T → Rn . Durch Unterteilung des Intervalls
[t0 , t1 ] finde man eine m¨
oglichst kleine reelle Zahl C > 1, sodaß f¨
ur alle t0 , t1 ∈ T gilt
||f (t1 ) − g(t1 )|| ≤ C | t1 − t0 |||f (t0 ) − g(t0 )||.
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Beispiel 3. Es sei F die differenzierbare Funktion R → R, x → 2|x| 2 . Man schreibe ein Programm
zur n¨
aherungsweisen Berechnung der L¨osung des Anfangswertproblems f¨
ur y : [0, 1] → R,
∀x : y (x) = F (y(x)), y(0) = 1,
mit dem Eulerschen Polygonzugsverfahren.
Welcher Wert von y(1) ergibt sich f¨
ur N = 10, 20, 50, 100, 1000, wobei N die Anzahl der Teilintervalle ist?
Beispiel 4. Lesen Sie den Auszug aus I. Lakatos: Proofs and refutations, Cambridge University
Press, 1976 (Nachwort der Herausgeber J. Worrall und E. Zahar), verlinkt auf der Webseite der
Vorlesung. Formulieren Sie eine Behauptung aus diesem Auszug in ein bis zwei S¨atzen.

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