\documentclass{article}
\usepackage{a4wide,amssymb,amsmath}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\setlength{\parindent}{0 mm}

\begin{document}

\section*{\"Ubung 4 (15.11.2016)}

{\bf Beispiel 1.} 
Das Tschebyschow-Polynom $T_n$, $n\in\N$ ist eine spezielle L\"osung der Tschebyschow-Gleichung
f\"ur $y:(-1,1)\to\R$
\[ \forall t\in(-1,1): \ \  (1-t^2) y''(t) - t y'(t) + n^2 y(t) = 0 . \]
Die ersten Tschebyschow-Polynome sind:
\[ T_0(t) = 1, \ T_1(t) = t, \ T_2(t) = 2t^2-1, \ T_3(t) = 4t^3-3t .\]
Man berechne eine zweite linear unabh\"angige L\"osung f\"ur $n=0,1$.
Eventuell mu{\ss} im Fall $n=1$ der Definitionsbereich eingeschr\"ankt werden.

\medskip

{\bf Beispiel 2.}
Man bestimme die allgemeine L\"osung der Gleichung f\"ur $\vec{y}:\R\to\R^2$
\[ \forall t\in\R: \vec{y'}(t) + \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \vec{y}(t) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]

\medskip

{\bf Beispiel 3.}
Man berechne die allgemeine L\"osung der Differentialgleichung f\"ur $y:\R\to\R$
\[ \forall t: y''(t)-2 y'(t)+ y(t) = t . \]

\medskip

{\bf Beispiel 4.}
Es sei $n\in\N$. Es sei $U\subset\R^n$ nicht leer. Es sei $L>0$.
Es sei $f:U\to\R$ eine Funktion, die die Bedingung
\[ \forall x_1,x_2\in U: \ |f(x_1)-f(x_2)| \le L||x_1-x_2|| \]
erf\"ullt. 

F\"ur jedes $x\in U$ definieren wir die Sch\"uttkegel-Funktion $g_x:\R^n\to\R$, $y\mapsto f(x)-L||y-x||$.
Es sei $\bar{f}:\R^n\to\R^n$, $y\mapsto\sup\{g_x(y)\mid x\in U\}$. Man zeige:

1) $\bar{f}$ ist eine Fortsetzung von $f$.

2) Es gilt:
\[ \forall x_1,x_2\in \R^n: \ |\bar{f}(x_1)-\bar{f}(x_2)| \le L||x_1-x_2|| . \]

\end{document}

