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\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
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\begin{document}

\section*{\"Ubung 3 (8.11.2016)}

Es sei $T=\R$.

{\bf Beispiel 1 (angeregte Schwingung).} 
Es seien $a,b,\omega$ positive reelle Zahlen.
Gegeben ist die lineare Differentialgleichung f\"ur $f:T\to\R$
\[ \forall t: f''(t)+af'(t)+bf(t) = \cos(\omega t). \]
Man beweise: es gibt genau eine periodische L\"osung der Form $f(t)=x\cos(t)+y\sin(t)$, wobei
$x,y$ unbestimmte reelle Koeffizienten sind.

Vergleiche auch mit Beispiel 4 von \"Ubung 2.
\medskip

{\bf Beispiel 2.}
Man berechne die Exponentialmatrizen $e^{A_{1/2}t}$ f\"ur die folgenden Matrizen:
\[ A_1 = \begin{bmatrix} -13 & -1 \\ -2 & -4 \end{bmatrix}, 
A_2 = \begin{bmatrix} 7 & 4 \\ 8 & 1 \end{bmatrix}. \]
Welches asymptotische Verhalten zeigen die L\"osungen der Gleichung f\"ur $f:T\to\R^2$
\[ \forall t: f'(t) = A_{1/2} f(t) \ ? \]

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{\bf Beispiel 3.}
Es sei $n\in\N$ und $A,B\in\R^{n\times n}$.

a) Man zeige:
\[ AB=BA \implies e^{A+B}=e^Ae^B=e^Be^A. \]

b) Man zeige die Formel f\"ur die Exponentialmatrix des Jordanblocks
\[ J = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 
                       0 & \lambda & \cdots & 0 & 0 \\ 
                       \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 
                       0 & 0 & \cdots & \lambda & 1 \\ 
                       0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda \end{bmatrix} \in \C^{n\times n}; 
 e^{tJ} = \begin{bmatrix} e^\lambda & te^\lambda & \cdots & \frac{t^{n-2}}{(n-2)!}e^\lambda & \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^\lambda \\ 
                       0 & e^\lambda & \cdots & \frac{t^{n-3}}{(n-3)!}e^\lambda & \frac{t^{n-2}}{(n-2)!}e^\lambda \\ 
                       \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 
                       0 & 0 & \cdots & e^\lambda & te^\lambda \\ 
                       0 & 0 & \cdots & 0 & e^\lambda \end{bmatrix}. \]
Der Fall $\lambda=0$ kann als bekannt vorausgesetzt werden (wurde in der Vorlesung gezeigt).

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{\bf Beispiel 4.}
Es sei $n\in\N$ und $A\in\R^{n\times n}$. Man zeige, da{\ss} die folgenden Aussagen equivalent sind.

1) Die Differentialgleichung $f'(t)=Af(t)$ f\"ur $f:T\to\R^n$ hat bei $0\in\R^n$ einen stabilen Göeichgewichtspunkt.

2) Die Menge $\{ e^{At} \mid t\ge 0 \}$ ist beschr\"ankt.

\end{document}

