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\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
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\begin{document}

\section*{\"Ubung 2 (25.10.2016)}

Es sei $T=\N$.

{\bf Beispiel 1.}
Gegeben ist die lineare Rekursion f\"ur $f:T\to (\R^2)^6$ gegeben durch 
\[ \forall t: f(t+1) = A\ f(t), \]
\[ A \ (p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,p_6)^\top = 
  \left(\frac{p_6+p_2}{2},\frac{p_1+p_3}{2},\frac{p_2+p_4}{2},
        \frac{p_3+p_5}{2},\frac{p_4+p_6}{2},\frac{p_5+p_1}{2}\right)^\top . \]
Man bestimme die Jordansche Normalform von $A$.
Ist der Nullvektor ein stabiles bzw. asymptotisch stabiles Equilibrium in dieser Rekursion?

Zusatzfrage: K\"onnen Sie die Eigenr\"aume erraten?
\medskip

{\bf Beispiel 2.}
F\"ur welche reellen Parameter $\lambda$ hat die lineare Rekursion f\"ur $f:T\to\R$,
\[ \forall t: f(t+2) = f(t+1)+\lambda f(t) \]
einen asymptotisch stabilen Gleichgewichtspunkt?

\medskip

{\bf Beispiel 3.}
Man berechne eine Stammfunktion der Funktion $D\to\R$,
\[ x \mapsto \frac{1}{x^4-x^2},\]
wobei $D=(1,\infty)$.

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{\bf Beispiel 4.}
Es seien $\alpha,\beta\in{\cal R}$ lineare Rekursionsoperatoren in ${\cal R}$, deren charakteristische
Polynome keinen gemeinsamen Teiler haben.
Es sei $\ker(\alpha)$ die Menge aller Folgen $f\in\R^\N$, die die Rekursiongleichung $\alpha(f)=0$ l\"osen.
Es sei $b\in\ker(\alpha)$. Man zeige: es existiert genau eine Folge $g\in\ker(\alpha)$, die die
inhomogene lineare Rekursionsgleichung $\beta(g)=b$ erf\"ullt.


\end{document}

