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\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\setlength{\parindent}{0 mm}

\begin{document}

\section*{\"Ubung 1 (18.10.2016)}

{\bf Beispiel 1.}
In der Vorlesung wurde gezeigt, da{\ss} eine nicht-autonome Differentialgleichung auf eine 
vektorwertige autonome Differentialgleichung zur\"uckgef\"uhrt werden kann (durch Einf\"uhrung einer Variablen
f\"ur die innere Zeit). Erh\"alt diese R\"uckf\"uhrung Linearit\"at? Man gebe einen Beweis oder
ein Gegenbeispiel.

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{\bf Beispiel 2.}
Man bestimme die Equilibrien der Differentialgleichung f\"ur $f:T\to\R$,
\[ f'(t) = F(f(t)) ,\]
\[ \mbox{wobei } F(x): = \sin(1/x) \mbox{ falls } x\ne 0 \mbox{ und } F(0):=0 . \]
Welche Equilibrien sind stabil? Welche sind asymptotisch stabil?

\medskip

{\bf Beispiel 3.}
Gegeben ist die parametrische Differentialgleichung f\"ur $y:\R\to\R$
\[ F_\lambda(x)=x(\lambda-x^2), \]
\[ \forall t: \ y'(t) = F_\lambda(y(t))=y(t)(\lambda-y(t)^2), \]
wobei $\lambda\in\R$ ein reeller Parameter ist.
Man zeichne das Phasenportr\"at f\"ur $\lambda=1$ und das Birfukationsdiagramm
(ohne die allgemeine L\"osung zu berechnen).

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{\bf Beispiel 4.}
Man berechne eine die allgemeine L\"osung der Differentialgleichung f\"ur $y:D\to\R$
\[ \forall x: y'(x) = \frac{\cos(x)}{\cos(y(x))} , \]
wobei $D$ eine kleine Umgebung von $0$ ist.


\end{document}

