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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\begin{document}

\section*{\"Ubung 11 (26.1.2016)}



{\bf Beispiel 1.}
Man betrachte das parametrisierte Richtungsfeld auf $\R^2$
\[ F_\lambda(x,y) := (-xy+\lambda, x^2+y^2-20), \ \lambda\in\R . \]
F\"ur welche Werte von $\lambda$ treten Bifurkationen auf? Welches Verhalten
hat das von diesem Richtungsfeld beschriebene System zwischen diesen Stellen?

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{\bf Beispiel 2.}
Es sei $g:\R^2\to\R$. Es sei $F:\R^2\to\R^2$ das Richtungsfeld
\[ F(x,y) = \left( -\frac{\partial g}{\partial y}(x,y) + \frac{x g(x,y)}{12} ,
	\frac{\partial g}{\partial x}(x,y) + \frac{y g(x,y)}{12} \right) . \]
Man zeige, da{\ss} die Kurve $\{ (x,y)\mid g(x,y)=0 \}$ einen Sattelpunkt
und einen homoklinen Orbit enth\"alt.

{\small Hinweis: Man berechne $\partial_F(g)$ eingeschr\"ankt auf die Kurve.}

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{\bf Beispiel 3.}
Man visualisiere die Richtungsfelder aus den Beispielen 1 und 2 mit dem Programm 
{\tt http://www.falstad.com/vector/}.

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{\bf Beispiel 4.}
Es sei $S^1 := \R/{\sim}$ mit der Equivalenzrelation $x\sim y\Leftrightarrow \frac{x-y}{2\pi}\in\Z$. 
Es sei 
\[ f:S^1\to S^1, \ x\mapsto x+\sin(x) .\]
Wie viele Fixpunkte hat $f$? Welche Fixpunkte sind hyperbolisch/stabil/asymptotisch stabil?

\end{document}

