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\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}

\begin{document}

\section*{\"Ubung 10 (19.1.2016)}



{\bf Beispiel 1.}
Es sei $f:\R\to\R, f(x)=2x^2-1$. Man verwende die Identit\"at
\[ \cos(2\alpha)= 2\cos(\alpha)^2-1 , \]
um einen geschlossenen Ausdruck f\"ur $g^n(x)$ zu berechnen.

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{\bf Beispiel 2.}
Es sei $f:\R\to\R, f(x)=2x^2-1$ wie in Beispiel~1.
Man zeige, da{\ss} f\"ur jede offene Teilmenge $U\subset [-1,1]$ ein $n$ existiert,
sodass das Bild von $U$ unter $f^n=f\circ f\circ \dots \circ f$ ($n$ mal) gleich dem
Intervall $[-1,1]$ ist.

\medskip
{\bf Beispiel 3.}
Man beweise die folgende Behauptung: 

Es sei $f:\R\to\R$ stetig differenzierbar. Es sei $(x_1,x_2)$ ein Zweierzykel von $f$,
d.h. $f(x_1)=x_2$ und $f(x_2)=x_1$. Es sei $g:=f^2=f\circ f$. Dann gilt $g'(x_1)=g'(x_2)$.

Gilt auch eine analoge Behauptung f\"ur $k$-Zykel mit $k>2$?

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{\bf Beispiel 4.}
Man untersuche mit dem Programm {\tt http://www.falstad.com/vector/} das Richtungsfeld 
\[ F(x,y) = (y+3sin(2x)/2,-x) . \]
Suchen Sie Grenzzyklen, indem Sie die Regler {\tt Field Strength} und {\tt Number of Particles}
nach rechts schieben. Kehren Sie mit der Schaltfl\"ache {\tt Reverse} das Vorzeichen um. Was
k\"onnen Sie beobachten?


\end{document}

