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\newcommand{\N}{\mathbb{N}}

\begin{document}

\section*{\"Ubung 9 (12.1.2016)}



{\bf Beispiel 1.}
Es sei $F$ das Richtungsfeld $F(x,y) = (-x+y^2,-y+x^2)$
mit asymptotisch stabilem Gleichgewichtspunkt $(0,0)$.
Man bestimme man eine Umgebung $U$ von $(0,0)$,
soda{\ss} die Richtungsableitung der Funktion $g:\R^2\to\R$, $(x,y)\mapsto x^2+y^2$
auf $U\setminus \{(0,0)\}$ negativ ist. 

Man finde Umgebungen von $(0,0)$, die von den L\"osungskurven
nicht mehr verlassen werden, und bei denen alle L\"osungskurven mit Startwert innerhalb
der Umgebung gegen $(0,0)$ konvergieren.

\medskip
{\bf Beispiel 2.}
Man berechne die Gleichgewichtspunkte und den Typ 
(Klasse bez\"uglich topologischer \"Aquivalenz)
aller hyperbolischen Gleichgewichtspunkte der Richtungsfelder
\[ F(x,y) = (x^2+y^2-1,xy) , \]
\[ G(x,y) = (\sin(x),\sin(y)) . \]

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{\bf Beispiel 3.}
Man gebe ein stetig parametrisiertes Richtungsfeld 
\[ {\cal F}:\R\times\R^2\to\R^2,\ (\lambda,x,y) \mapsto F_\lambda(x,y) \]
an, soda{\ss} $F_0=(x,y^2)$ ist und $F_\lambda$ f\"ur $\lambda\ne 0$
keine Gleichgewichtspunkte hat.

(Damit ist gezeigt, da{\ss} der Gleichgewichtspunkt bei $(0,0)$ von $F_0$
nicht strukturell stabil ist.)

\medskip

{\bf Beispiel 4.}
Man w\"ahle $\lambda\in  (3,1+\sqrt{5})$. 
Es sei $F_\lambda:\R\to\R$ die Funktion $x\to\lambda x(1-x)$.
Man zeige (f\"ur das gew\"ahlte $\lambda$) da{\ss} die Rekursion
$x_{n+1}=F_\lambda(x_n)$ genau einen 2-Zyklus besitzt, und da{\ss} dieser
asymptotisch stabil ist.

\end{document}

