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\begin{document}

\section*{\"Ubung 7 (7.12.2015)}

{\bf Beispiel 1.}
Es sei $F:\R\to\R$, $x\mapsto |x|^\frac{1}{2}$. Man berechne alle L\"osungen
der Differentialgleichung f\"ur $y:[0,1]\to\R$
\[ \forall x: y'(x) = F(y(x)) \]
mit Startwert $y(0)=-1,0,1$.
\medskip

{\bf Beispiel 2.}
Es sei $F$ die differenzierbare Funktion $\R\to\R$, $x\mapsto 2|x|^\frac{3}{2}$. 
Man schreibe ein Programm zur n\"aherungsweisen Berechnung der L\"osung 
des Anfangswertproblems f\"ur $y:[0,1]\to\R$,
\[ \forall x: y'(x) = F(y(x)), \ y(0)=1, \]
mit dem Eulerschen Polygonzugsverfahren.

Welcher Wert von $y(1)$ ergibt sich f\"ur $N=10,20,50,100,1000$, wobei $N$ die Anzahl
der Teilintervalle ist?
\medskip

{\bf Beispiel 3.}
Man zeige oder widerlege:

Es sei $n>0$.
Es sei $F:\R^{n+1}\to\R^n$, $F(\lambda,y)=F_\lambda(y)$ ein stetig differenzierbares
parameterabh\"angiges Richtungsfeld, soda{\ss} f\"ur alle $\lambda\in\R$ die Funktion
$F_\lambda:\R^n\to\R^n$ Lipschitz-stetig ist. Es sei $y_0\in\R^n$ fix.
F\"ur $\lambda\in\R$ sei $Y_\lambda:\R\to\R^n$
die L\"osung des Anfangswertproblems f\"ur $y:\R\to\R^n$,
\[ \forall x: y'(x) = F_\lambda(y(x)), \ y(0) = y_0 . \]
Dann ist die Funktion $\R\to\R^n$, $\lambda \to \lim_{x\to\infty} Y_\lambda(x)$ stetig.


\medskip

{\bf Beispiel 4.}
Welche der folgenden Funktionen $F_n:\R^2\to\R$, $n=1,\dots,4$
erf\"ullen eine Lipschitzbedingung?
Man gebe in diesen F\"allen jeweils eine Lipschitz-Konstante an.
\[ F_1(x,y)=\sin(x+y), F_2(x,y)=x^2y+y-1, F_3(x,y)=|x+y|, F_4(x,y)=xy \]

\end{document}
