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\begin{document}

\section*{\"Ubung 6 (24.11.2015)}

{\bf Beispiel 1.}
Es seien $A_1,A_2\in\R^{2\times 2}$ Diagonalmatrizen mit negativen Eigenwerten.
Man finde eine topologische Equivalenz der beiden Systeme $y'=A_1y$ f\"ur $y:\R\to\R^2$
und $z'=A_2z$ f\"ur $z:\R\to\R^2$. 

Hinweis: Der Ansatz
\[ (y_1,y_2) \mapsto (z_1,z_2)=(\sig(y_1)|y_1|^{c_1},\sig(y_2)|y_2|^{c_2}) \]
mit geeigneten Konstanten $c_1,c_2>0$ f\"uhrt zum Ziel. Dabei ist $\sig$ die Funktion,
die jeder reellen Zahl ihr Vorzeichen zuordnet.
\medskip

{\bf Beispiel 2.}
Es sei $f:\R_+\to\R$ eine stetige Funktion.
Man zeige, da{\ss} die Abbildung $\R^2$ nach $\R^2$
\[ (r\cos(\phi),r\sin(\phi)) \mapsto (r\cos(\phi+f(r)),r\sin(\phi+f(r))) \mbox{ f\"ur } r\ne 0,
	(0,0) \mapsto (0,0) \]
ein Hom\"oomorphismus von $\R^2$ nach $\R^2$ ist.
\medskip

{\bf Beispiel 3.}
Man berechne eine allgemeine Formel f\"ur die Folge von Funktionen $f_n:\R\to\R$ definiert durch
\[ \forall x: f_0(x)=1, \ \forall n: f_{n+1}(x)=1+\int_0^x f_n(t)dt . \]
Konvergiert die Folge $(f_n)_n$? Wenn ja, was genau hei{\ss}t das?
\medskip

{\bf Beispiel 4.}
Ist das Anfangswertproblem f\"ur $y:\R\to\R$
\[ \forall x: y'(x)=y(x)^2, \ y(0)=1 \]
eindeutig l\"osbar? 

\end{document}

