\documentclass{article}
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\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\setlength{\parindent}{0 mm}

\begin{document}

\section*{\"Ubung 5 (17.11.2015)}

{\bf Beispiel 1.}
Man berechne die allgemeine L\"osung der Differentialgleichung f\"ur $y:\R_+\to\R$
\[ \forall x: x^2 y''(x)-7 xy'(x)+15 y(x) = 0 . \]
Eine L\"osung ist bekannt, n\"amlich $y_1:x\to x^3$.
\medskip

{\bf Beispiel 2}
Man berechne die allgemeine L\"osung der Differentialgleichung f\"ur $y:\R_+\to\R$
\[ \forall x: x^2 y''(x)-7 xy'(x)+15 y(x) = x \]
unter Verwendung von Beispiel~1.
\medskip

{\bf Beispiel 3.}
Man zeige oder widerlege:

{\em Behauptung:} Es sei $A\in\R^{2\times 2}$. Dann sind folgende Aussagen equivalent:

a) Alle Eigenwerte von $A$ haben negativen Realteil.

b) Die drei Koeffizienten des charakteristischen Polynoms von $A$ sind positiv.
\medskip

{\bf Beispiel 4.}
Man visualisiere mit dem Programm {\tt http://www.falstad.com/vector/} das Verhalten
der L\"osungen der Gleichung f\"ur $y:\R\to\R^2$, $\forall x:y'(x)=Ay(x)$, f\"ur 
verschiedene $2\times 2$-Matrizen $A$ freier Wahl. Unter {\tt user-defined field}
in der {\tt Setup}-Leiste kann eine beliebige reelle Matrix eingegeben werden. Interessant
ist auch die Funktion {\tt streamlines} im {\tt Floor}-Men\"u, die die L\"osungskurven
zeichnet.

\end{document}

