\documentclass{article}
\usepackage{a4wide,amssymb,amsmath}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\setlength{\parindent}{0 mm}

\begin{document}

\section*{\"Ubung 4 (10.11.2015)}

{\bf Beispiel 1.}
Man bestimme die allgemeine L\"osung der Differentialgleichung f\"ur $y:\R\to\R$
\[ \forall x: y''(x)+y(x) = 1+x+x^2 . \]
\medskip

{\bf Beispiel 2}
(Wiederholung aus der linearen Algebra). 
Es seien $V,W$ zwei Vektorr\"aume \"uber $\R$.
Es sei $L:V\to W$ eine lineare Abbildung.
Es sei $w\in W$. Man zeige die folgende Behauptung:


Die allgemeine L\"osung $x$ der Gleichung $Lx=w$ l\"a{\ss}t sich schreiben als Summe einer
fixen L\"osung von $Lx=w$ und der allgemeinen L\"osung der Gleichung $Lx=0$.

\medskip

{\bf Beispiel 3.}
Man bestimme eine spezielle L\"osung der Gleichung f\"ur $y:\R\to\R$
\[ \forall x:\ y'(x)+2xy(x) = e^{x-x^2} \]
\medskip

{\bf Beispiel 4.}
Man bestimme die allgemeine L\"osung der Gleichung f\"ur $\vec{y}:\R\to\R^2$
\[ \forall x: \vec{y'}(x) + \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \vec{y}(x) = \begin{bmatrix} 0 \\ 1+x+x^2 \end{bmatrix} \]

\end{document}

