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\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
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\begin{document}

\section*{\"Ubung 3 (3.11.2015)}

{\bf Beispiel 1.}
[In dieser \"Ubung soll die allgemeine L\"osung einer linearen Differentialglieichung
mit konstanten Koeffizienten hergeleitet werden, deren charakteristisches Polynom
nur eine Nullstelle hat.]
Es sei ${\cal D}_c$ die Menge der Differentialoperatoren von $C^\infty(\R)$ nach $C^\infty(\R)$.
Es sei $n\in\N$.
Es sei $T\in{\cal D}_c$ ein Operator der Ordnung $n$ mit f\"uhrendem Koeffizienten (der Koeffizient vor der $n$-ten Ableitung) gleich $1$.

a) Man zeige, da{\ss} ein Operator $S\in{\cal D}_c$ von der Form $y\to y'-\lambda y$ mit Konstante $\lambda\in\C$ existiert, soda{\ss} 
\[ T=S\circ S\circ\cdots\circ S \]
 ($n$-malige Hintereinanderausf\"uhrung von $S$) ist.

b) Man stelle das System von Differentialgleichungen f\"ur $y_1,\dots,y_n:\R\to\R$
\[ S(y_1)=y_2,\ S(y_2)=y_3,\dots, S(y_{n-1}=y_n, S(y_n)=0 \]
in vektorieller Form dar.

c) Man bestimme die allgemeine L\"osung von b) mit der Exponentialmatrix.

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{\bf Beispiel 2.}
Es sei $n\ge 2$.
Man beweise oder widerlege die Behauptung
\[ \forall A,B\in\C^{n\times n}:\ e^{A+B}=e^A e^B \implies AB=BA . \]

\medskip

{\bf Beispiel 3.}
Man berechne einen geschlossene Formel f\"ur die Folge $(x_n)_n$ definiert durch
\[ \forall n\in\N:x_{n+3}=7x_{n+1}-6x_n, \ x_0=1, \ x_1=2. \]
Hinweis: die Nullstellen des charakteristischen Polynom sind ganze Zahlen mit
Absolutbetrag kleiner oder gleich 3.

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{\bf Beispiel 4.}
Man berechne die L\"osung $y:\R\to\R$ des Anfangswertproblems
\[ \forall x: y''(x)+2y'(x)+y(x)=0 , \ y(0)=1,\ y'(0)=-1 . \]


\end{document}

