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\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\setlength{\parindent}{0 mm}

\begin{document}

\section*{\"Ubung 2 (27.10.2015)}

{\bf Beispiel 1.}
F\"ur die L\"osung des Anfangswertproblems f\"ur $y:\R\to\R$,
\[ \forall x:\ y''(x)=xy(x), \ \ y(0)=1, y'(0)=0 \]
berechne man die Taylor-Reihe bei $0$ mit dem Potenzreihen-Ansatz bzw. dem Exponentialreihen-Ansatz. 
K\"onnen Sie eine Formel (einen geschlossenen Ausdruck) f\"ur die Koeffizienten finden?

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{\small \"Ubrigens: Man kann zeigen, da{\ss} sich die L\"osung dieser Differentialgleichung nicht in der
Sprache der Lieuville-Erweiterungen darstellen l\"a{\ss}t.}

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{\bf Beispiel 2.}
Es sei ${\cal D}_c$ die Menge der Differentialoperatoren von $C^\infty(\R)$ nach $C^\infty(\R)$.
F\"ur jeden Differentialoperator $T\in {\cal D}_c$ bezeichnen wir mit $L(T)$ den Vektorraum der L\"osungen 
$y\in C^\infty(\R)$ der Gleichung $T(y)\equiv 0$.
Es seien $T_1,T_2\in{\cal D}_c$. Man zeige, da{\ss} $T_3\in{\cal D}_c$ existiert, soda{\ss}
\[ L(T_3) = L(T_1) \cap L(T_2) \]
gilt.

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{\bf Beispiel 3.}
Man berechne $e^{A_rx}$, $x\in\R$, f\"ur $r=1,2,3$.
\[ A_1 = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}, 
\ A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3\end{bmatrix}, 
\ A_3 = \begin{bmatrix} -12 & -16 \\ 9 & 12 \end{bmatrix}. \]

\medskip

{\bf Beispiel 4.}
Man berechne die L\"osung $\vec{y}:=(y_1,y_2)^t:\R\to\R^2$ des Anfangswertproblems
\[ \forall x: y_1'(x) = -12y_1(x)-16y_2(x),\ y_2'(x)=9y_1(x)+12y_2(x) , \]
\[ y_1(0)=1, y_2(0)=0 . \]


\end{document}

