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\newcommand{\N}{\mathbb{N}}

\begin{document}

\section*{\"Ubung 10 (19.1.2015)}

{\bf Beispiel 1.}
Es seien $a<b,c,d\in\R$. Gesucht ist $f\in C^2([a,b])$, soda{\ss} $f(a)=c$ und $f(b)=d$ ist und das
Funktional $g\mapsto \int_a^b g'(x)^2 dx$ minimiert wird. Man stelle f\"ur dieses Variationsproblem
die Euler-Lagrange-Gleichung auf und l\"ose sie.
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{\bf Beispiel 2.}
Man stelle die Euler-Lagrange-Gleichungen f\"ur das Funktional $g\mapsto \int_a^b g(x)^2g'(x) dx$
auf und l\"ose sie.
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{\bf Beispiel 3.}
Man berechne die Euler-Lagrange-Differentialgleichung f\"ur das Variationsproblem: Gesucht $f:[a,b]\to\R$,
soda{\ss} $\int_a^b f(x)\sqrt{1+f'(x)^2} dx$ minimal wird, unter den Nebenbedingungen
\[ \int_a^b \sqrt{1+f'(x)^2} = C , \]
\[ f(a)=c, f(b)=d , \],
wobei $a,b,c,d,C$ gegebene reelle Zahlen sind.
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{\bf Beispiel 4.}
Man zeige, da{\ss} die Funktion $f:\R\to\R, x\mapsto\cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ die 
Euler-Lagrange-Differentialgleichung in Beispiel~3 l\"ost.

\end{document}

