\documentclass{article}
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\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}

\begin{document}

\section*{\"Ubung 9 (12.1.2015)}

{\bf Beispiel 1.}
Es sei $F:\R^2\to\R^2$ das Vektorfeld
\[ (x,y) \mapsto ( y-x(x^2+y^2)+x, -x-y(x^2+y^2)-y) \]
(es ist $F_\lambda$ aus der Vorlesung vom 16.12. f\"ur $\lambda=1$).
Es sei $V:=(0,\infty)\times\R$, und $H$ die $x$-Achse.
Man berechne die Poincar\'e-Abbildung $\Phi:(V\cap H)\to(V\cap H)$.
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{\bf Beispiel 2.}
Gegeben ist das Vektorfeld $F:\R^2\to\R^2$,
\[ (x,y) \mapsto (-16x+(x+y)^2+x(16xy-(x+y)^3/3)/12,16y-(x+y)^2+y(16xy-(x+y)^3/3)/12) . \]

a) Man berechne den topologischen Typ des Gleichgewichtspunkts $(0,0)$ (Quelle, Senke, oder Sattelpunkt).

b) Man zeige, da{\ss} die Kurve definiert durch die Gleichung $g(x,y)=16xy-(x+y)^3/3=0$ einen homoklinen
Orbit enth\"alt.

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Hinweis: Man berechne $\delta_F(g)$ an allen Nullstellen von $g$.
\small

c) Man untersuche numerisch (mit dem Programm {\tt vector}) das asymptotische Verhalten der Orbits
mit Startwert im Innern der Schleife der Kurve $16xy-(x+y)^3/3=0$. (Bei der Eingabe in das Programm mu{\ss}
Multiplikation mit $\ast$ und Potenzieren mit $\wedge$ bezeichnet werden.)
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{\bf Beispiel 3.}
Man gebe das Vektorfeld $F:\R^2\to\R^2$,
\[ (x,y) \mapsto (33x-x^3-y^3,33y+x^3-y^3) \]
in das Programm {\tt vector} ein und schiebe den Regler f\"ur {\tt Field Strength} langsam nach rechts.
Was ist zu sehen? Wie ist das zu erkl\"aren?

Ein \"ahnliches, aber kompliziertes Bild zeig das Richtungsfeld $\R^2\to\R^2$,
\[ (x,y) \mapsto (\sin(x)\sin(xy)+\sin(y),\sin(y)\sin(xy)+\sin(x)) . \]
Klicken Sie hier auf die Schaltfl\"ache {\tt Reverse}.

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{\bf Beispiel 4.}
Man berechne alle Gleichgewichtspunkte des Richtungsfelds $\R^2\to\R^2$,
\[ (x,y) \mapsto \left(y+\frac{3\sin(2x)}{2},-x\right) \]
und bestimme jeweils den topologischen Typ. Danach gehe man vor wie in Beispiel~2:
{\tt Field Strength} langsam nach rechts, Schaltfl\"ache {\tt Reverse}.

\end{document}

