\documentclass{article}
\usepackage{a4wide,amssymb,amsmath}
\setlength{\parindent}{0 mm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}

\begin{document}

\section*{\"Ubung 8 (15.12.2014)}

{\bf Beispiel 1.}
Man berechne eine Ljapunov-Funktion f\"ur das Vektorfeld $F:\R^2\to\R^2$,
\[ F(x,y) = (-x+xy^2,-y+x^2y) \]
bei $(0,0)$, i.e., eine Funktion $g:\R^2\to\R$ soda{\ss} $g$ bei $(0,0)$ ein lokales Maximum und
$\delta_F(g)$ bei $(0,0)$ ein lokales Minimum hat. Man gebe eine Umgebung von $(0,0)$ an, soda{\ss}
die Einschr\"ankungen der beiden Funktionen globales Mininum bzw. Maximum bei $(0,0)$ haben.

Man verwende die Funktion, um eine offene Umgebung $U'$ von $(0,0)$ zu finden, soda{\ss} L\"osungen
mit Startwert in $U'$ for positive $t$ in $U'$ bleiben und f\"ur $t\to\infty$ gegen $(0,0)$ konvergieren.

\medskip

{\bf Beispiel 2.}
Man berechne den Grenzwert (falls existent) der Folge $(x_n)_{n\in\N}$ definiert durch
\[ x_{n+1} := x_n+\frac{1}{4(1+x_n^2)}-\frac{1}{8} \]
f\"ur Startwerte $x_0=-2,x_0=-\frac{1}{2},x_0=0,x_0=5$.

\medskip

{\bf Beispiel 3.}
Man beweise, da{\ss} eine quadratische Funktion 
\[ F:\R\to\R, x\mapsto a x^2+b x +c, a,b,c\in\R, a\ne 0 \]
h\"ochstens $\frac{2^k-1}{k}$ $k$-Zyklen haben kann.

\medskip

{\bf Beispiel 4.}
Man beweise, da{\ss} jede stetige Funktion $F:\R\to\R$, die einen Zyklus hat, auch einen Fixpunkt hat.

\end{document}

