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\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}

\begin{document}

\section*{\"Ubung 7 (9.12.2014)}

Alle Richtungsfelder auf diesem \"Ubungszettel sind auf $\R^2$ definiert.

{\bf Beispiel 1.}
Man transformiere das Richtungsfeld 
\[ F(x_1,x_2) = (x_1+x_2,x_1-x_2) \]
mit der Transformation
\[ T:(x_1,x_2)\mapsto (y_1,y_2)=(x_1,x_2+x_1^2), \]
\[ T^{-1}:(y_1,y_2)\mapsto (x_1,x_2)=(y_1,y_2-y_1^2). \]

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{\bf Beispiel 2.}
Man visualisiere mit dem Programm {\tt vector} die Richtungsfelder
\[ F(x,y) = (cos(xy),sin(x+y+1)),  \]
\[ G(x,y) = ( sin(x+y),sin(x-y) ) .  \]
(Floor Streamlines, Display Particles) in der N\"ahe von $(0,0)$. 
Zum ``Hineinzoomen'' verwende man das abgewandelte Richtungsfeld
\[ F_n(x,y) = n cos(xy/n^2,x/n+y/n+1) \]
(analog f\"ur $G$) f\"ur $n=10,20,40,\dots$

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{\bf Beispiel 3.}
Man berechne eine Ljapunov-Funktion f\"ur das Vektorfeld
\[ F(x,y) = (-x+x^2,-y+y^2) \]
bei $(0,0)$, i.e., eine Funktion $g:\R^2\to\R$ soda{\ss} $g$ bei $(0,0)$ ein lokales Maximum und
$\delta_F(g)$ bei $(0,0)$ ein lokales Minimum hat. Man gebe eine Umgebung von $(0,0)$ an, soda{\ss}
die Einschr\"ankungen der beiden Funktionen globales Mininum bzw. Maximum bei $(0,0)$ haben.

Man verwende die Funktion, um eine offene Umgebung $U$ von $(0,0)$ zu finden, soda{\ss} L\"osungen
mit Startwert in $U$ for positive $t$ in $U$ bleiben und f\"ur $t\to\infty$ gegen $(0,0)$ konvergieren.

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{\bf Beispiel 4.}
Man berechne die Gleichgewichtspunkte und den Typ (Klasse bez\"uglich topologischer \"Aquivalenz)
aller hyperbolischen Gleichgewichtspunkte von
\[ F(x,y) = (x^2+y^2-1,xy) . \]

\end{document}

