\documentclass{article}
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\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}

\begin{document}

\section*{\"Ubung 4 (10.11.2014)}

{\bf Beispiel 1.}
Man berechne die L\"osung $y:\R\to\R$ des Anfangswertproblems
\[ \forall t: \ \ y_1'(t) = y_1(t)+y_2(t) , y_2'(t)=y_2(t) , \]
\[ y_1(0)=a, y_2(0)=b,  \]
f\"ur Parameter $a,b\in\R$.

\medskip

{\bf Beispiel 2.}
Man berechne die L\"osung $y:\R\to\R$ des Anfangswertproblems
\[ \forall t: \ \ y_1'(t) = y_1(t)+y_2(t)+1 , y_2'(t)=y_2(t)+1 , \]
\[ y_1(0)=0, y_2(0)=0. \]

\medskip

{\bf Beispiel 3.}
Das Tschebyschow-Polynom $T_n(x)$, $n\in\N$ ist eine spezielle L\"osung der Tschebyschow-Gleichung
f\"ur $y:(0,1)\to\R$
\[ \forall x\in(0,1): \ \  (1-x^2) y''(x) - x y'(x) + n^2 y(x) = 0 . \]
Man berechne eine zweite linear unabh\"angige L\"osung f\"ur $n=1$.

\medskip

{\bf Beispiel 4.}
Man finde die allgemeine L\"osung der inhomogenen Differentialgleichung f\"ur $y:\R\to\R$
\[ \forall x: \ y'(x)-y(x)=\sin(x) . \]

\end{document}

