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\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}

\begin{document}

\section*{\"Ubung 1 (4.11.2014)}

{\bf Beispiel 1.}
Es sei $(x_n)_n$ die L\"osung einer linearen Rekursion mit konstanten Koeffizienten.
Man zeige, da{\ss} $C>0$ und $N>0$ existieren, soda{\ss} $|x_n|<C^n$ f\"ur alle
$n>N$ gilt.

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{\bf Beispiel 2.}
Man berechne die allgemeine L\"osung der Schwingungsgleichung
\[ \forall x: y''(x) + a y'(x) + b y(x) = 0, a\ge 0, b>0, \]
f\"ur den Fall $a^2-4b=0$.

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{\bf Beispiel 3.}
Man visualisiere die L\"osungskurven und das dynamische Verhalten von zweidimensionalen
linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten mit Hilfe des Programms {\tt vector},
das der Autor auf der Seite {\tt http://www.falstad.com/vector/} frei zur Verf\"ugung stellt.
(Im Setup Men\"u ist das Feld in ``User-defined field'' einzugeben.) Man finde mindestens vier
verschiedene lineare Systeme mit qualitativ unterschiedlichem L\"osungsverhalten.

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{\bf Beispiel 4.}
Man berechne Jordan-Normalformen der folgenden Matrizen:
\[ A = \begin{bmatrix} -61 & -84 \\ 42 & 58 \end{bmatrix}, \]
\[ A = \begin{bmatrix} 12 & 11 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 11\end{bmatrix}, \]
\[ A = \begin{bmatrix} -12 & -16 \\ 9 & 12 \end{bmatrix}. \]


\end{document}

