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\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}

\begin{document}

\section*{\"Ubung 1 (27.10.2014)}

{\bf Beispiel 1.}
Man berechne die allgemeine L\"osung der folgenden Differentialgleichungen f\"ur \\
$y:\R\to\R$ in (a) bzw. $y:\R_{>0}\to\R_{>0}$ in (b):
\[ a) y'(t) = e^{t+y(t)} \]
\[ b) y'(t) = y(t)^\lambda t^\mu,  \]
jeweils f\"ur alle $t$ im Definitionsbereich,
wobei $\lambda,\mu\in\R$ Parameter sind.

\medskip

{\bf Beispiel 2.}
Man berechne die allgemeine L\"osung der Differentialgleichung f\"ur $y:\R_{>0}\to\R$
\[ y'(x) = \frac{y(x)^2}{x^2} + \frac{y(x)}{x} \]
f\"ur alle $x\in\R_{>0}$.

\medskip

{\bf Beispiel 3.}
Es sei $(x_n)_n$ die Fibonacci-Folge, definiert durch
\[ x_0=x_1=1,\ \ \forall n\in\N: \ x_{n+2}=x_n+x_{n+1} . \]
Man berechne $x_{64}$ ohne Computer/Taschenrechner.

Hinweis: Man reduziere auf eine vektorwertiges Rekursion der Form
\[ \vec{y}_{n+1}=A\vec{y_n} \]
mit geeigneter $2\times 2$ Matrix $A$ und Anfangswert $\vec{y_0}={1 \choose 1}$.

\medskip

{\bf Beispiel 4.}
Es sei $(x_n)_n$ die Folge definiert durch
\[ x_0=0,x_1=0,x_2=1, \ \ \forall n\in\N: \ x_{n+3}-3x_{n+2}+2x_{n+1}=0 . \]
Man berechne eine Formel f\"ur $x_n$.

\end{document}

