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\begin{document}

\section*{\"Ubung 1 (20.10.2014)}

{\bf Beispiel 1.}
Man f\"uhre die allgemeine inhomogene lineare skalare Differentialgleichung dritter Ordnung
mit variablen Koffizienten
\[ y'''(t) = a_1(t) y''(t)+a_2(t) y'(t)+a_3(t) y(t)+b(t) , \]
\[ a_1,a_2,a_3,b:{\mathbb R} \to {\mathbb R} \mbox{ stetig, gegeben, } \]

auf eine inhomogene lineare vektorielle Differentialgleichung erster Ordung zur\"uck.

\medskip

{\bf Beispiel 2.}
Man berechne eine Partialbruchzerlegung der rationalen Funktion
\[ f(x) = \frac{1}{x^3-x} . \]

\medskip

{\bf Beispiel 3.}
Gegeben ist die parametrische Differentialgleichung 
\[ F_p(x)=x(p-x^2), \]
\[ y'(t) = F_p(y(t))=y(t)(p-y(t)^2). \]
Man zeichne das Phasenportr\"at f\"ur $p=1$ und das Birfukationsdiagramm
(ohne die allgemeine L\"osung zu berechnen).

\medskip

{\bf Beispiel 4.}
Ein Gleichgewichtspunkt hei{\ss}t isoliert, wenn er eine Umgebung besitzt, die keinen
weiteren Gleichgewichtspunkt enth\"alt. 

Man zeige, da{\ss} jeder isolierte stabile Gleichgewichtspunkt asymptotisch stabil ist.


\end{document}

