\documentclass{article}
\usepackage{a4wide,amssymb,amsthm,amsmath,url,graphicx,german}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb N}}
\newcommand{\Vect}{{\mathrm Vect}}
\newcommand{\pent}{{\pentagon}}
\newcommand{\SO}{\mathrm{SO}(3)}
\newcommand{\ci}{\mathrm{i}}
\newcommand{\sh}{\sqrt{\frac{1}{2}}}
\newcommand{\VecTwo}[2]{\left(
    \begin{array}{c}
        {#1} \\ {#2}
    \end{array}
    \right) }



\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{Satz}[section]
\newtheorem{lemma}[thm]{Lemma}
\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
\newtheorem{corollary}[thm]{Korollar}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Definition}[section]
\newtheorem{example}[thm]{Beispiel}
\newtheorem{rem}[definition]{Bemerkung}
\newtheorem{exe}[definition]{\"Ubung}

\renewcommand{\div}{\mathrm{div}}
\newcommand{\curl}{\mathrm{curl}}
\newcommand{\End}{\mathrm{End}}
\newcommand{\zero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\tay}{\mathop{\mathrm{tay}}}
\newcommand{\pow}{\mathop{\mathrm{pow}}}

\setlength{\parindent}{0 mm}

\title{
	\includegraphics[height=4cm]{jku.eps} \hfill \includegraphics[height=4cm]{risc.png} \\
	Gew\"ohnliche Differentialgleichungen \\
	und Dynamische Systeme}
\author{Josef Schicho}
\date{WS 2018/19}

\begin{document}

\maketitle
%\tableofcontents
%\medskip

\section{Verschiedene Typen von Dynamischen Systemen}

Ein dynamisches System ist ein mathematisches Modell eines Prozesses durch Funktionen von einer Menge $T$ (Zeit) in einen
Raum $X$. Die Menge $T$ ist entweder gleich $\R$ bzw. ein Intervall von $\R$ (kontinuierliches dynamisches System) oder
gleich $\N$ (diskretes dynamisches System). Der Raum $X$ ist meistens ein reeller endlich-dimensionaler Vektorraum 
-- bei linearen dynamischen
Systemen ist das unabdingbar -- oder eine Teilmenge eines Vektorraumes. Das Wesentliche ist,
dass die Funktion (manchmal auch eine Menge von Funktionen) nicht durch einen expliziten Ausdruck beschrieben wird,
sondern im diskreten Fall durch eine Rekursion und im kontinuierlichen Fall durch eine Differentialgleichung.

Wir beginnen mit dem diskreten Fall: $T=\N$, und $X\subset\R$ oder $X\subset\R^n$. Die Funktion $f:T\to X$ wird
beschrieben durch die Rekursionsgleichung der Ordnung $k>0$, die wie folgt aussieht:
\[ \forall t\in T: f(t+k) = F(f(t),f(t+1),\dots,f(t+k-1),t) , \]
wobei $F:(X^k\times T)\to X$ eine gegebene stetige Funktion ist. Sobald die Anfangswerte $f(0)$, $f(1)$, $\dots$, $f(k-1)$
bekannt sind, ist die Funktion $f$ eindeutig festgelegt und kann mit einem Programm rekursiv an jeder nat\"urlichen
Zahl ausgewertet werden. 

Sehr oft ist man in der Situation, da{\ss} der Wert $F(x_0,\dots,x_{k-1},t)$ nicht von $t$ abh\"angt, also dass
man eigentlich eine Funktion $F:X^k\to X$ hat. Wir sprechen in diesem Fall von einer autonomen (zeitunabh\"angigen)
Rekursion. Der nicht-autonome Fall entspricht eigentlich nicht der ``Philosophie'' der dynamischen Systeme: wenn
wir zeitabh\"angige Rekursionen erlauben, k\"onnen wir ja auch gleich einen Ausdruck f\"ur die Funktion in die
Rekursion stecken:
\[ F(x_0,x_1,\dots,x_{k-1},t) := A(t) , \]
und h\"atten dann eine explizite Darstellung $f(t)=A(t)$. Genau das, was wir in der Theorie der dynamischen Systeme ja
ausschlie{\ss}en wollten. Drum ist der autonome Fall der normale Fall. 

Wenn uns jetzt eine nicht-autonome Rekursion \"uber den Weg l\"auft und wir trotzdem philosophisch auf der Linie
der dynamischen Systeme bleiben wollen, dann ist das m\"oglich: der nicht-automome Fall l\"a{\ss}t sich immer
auf den autonomen Fall zur\"uckf\"uhren. Au{\ss}erdem k\"onnen Rekursionen beliebiger Ordnung immer auf Rekursionen
erster Ordung zur\"uckgef\"uhrt werden. Beide R\"uckf\"uhrungen sind nicht gratis, sie gehen auf Kosten h\"oherer
Dimension $n$ des Wertebereichs vn $f$.

Wir beschreiben zuerst die R\"uckf\"uhrung einer nicht-autonomen Rekursion erster Ordung f\"ur eine Funktion $f:T\to X$,
gegeben durch die Funktion $F:(X\times T)\to X$; als Rekursion f\"ur $f$ liest sich das so:
\begin{equation}\label{naut}
  \forall t\in T: f(t+1) = F(f(t),t) . 
\end{equation}
Wir definieren nun $Y:=X\times T$ und die Funktion
\[ G: Y\to Y , (x,t) \mapsto (F(x,t),t+1) , \]
die eine Rekursion f\"ur $g:T\to Y$ definiert:
\begin{equation}\label{aut}
  \forall t\in T: g(t+1) = G(g(t)) .
\end{equation}
Wenn nun $f:T\to X$ die Rekursion~\ref{naut} erf\"ullt, dann erf\"ullt die Funktion $(x,t)\mapsto (f(t),t)$ die 
Rekursion~\ref{aut}. Umgekehrt: wenn $g:T\to Y$ die Rekursion~(\ref{aut}) erf\"ullt und einen Startwert $g(0)$ mit
$t$-Komponente gleich $0$ hat,
dessen $t$-Komponente gleich $0$ ist, dann ist die erste Komponente von $g$ eine L\"osung von Rekursion~(\ref{naut}) 
und die zweite Komponente ist die Identit\"at $t\mapsto t$. Bei Rekursionen h\"oherer Ordung funktionert eine \"ahnliche
R\"uckf\"uhrung (wobei es beim Ausdenken einer Rekursion f\"ur die Zeitkomponente ein bisschen Platz f\"ur 
Kreativit\"at gibt).

Nun beschreiben wir die R\"uckf\"uhrung einer autonomen Rekursion von Ordnung $k>1$ f\"ur eine Funktion $f:T\to X$,
gegeben duch eine Funktion $F:X^k\to X$ und als Rekursion geschrieben
\begin{equation}\label{ordk}
  \forall t\in T: f(t+k)= F(f(t),f(t+1),\dots,f(t+k-1) ) , 
\end{equation}
auf eine Rekursion erster Ordnung. Wir definieren $Y:=X^k$ und die Funktion
\[ G: Y\to Y , (x_0,x_1,\dots,x_{k-1} ) \mapsto (x_1,x_2,\dots,F(x_0,x_1,\dots,x_{k-1})) . \]
Diese definiert wieder eine Rekursion f\"ur $g:T\to Y$; die Rekursionsgleichung ist die gleiche wie in (\ref{aut}).
Wenn $f:T\to X$ nun die Rekursion~\ref{ordk} erf\"ullt, dann erf\"ullt die Funktion
$t\mapsto (f(t),f(t+1),\dots,f(t+k-1))$ die Rekursion~(\ref{aut}). Wenn umgekehrt $g$ die Rekursionsgleichung~(\ref{aut})
erf\"ullt, dann erf\"ullt jeder ihrer $k$ Komponenten die Rekursion~(\ref{ordk}).

\subsection{Lineare Rekursionen}

Es sei nun $X$ ein reeller Vektorraum.
Eine nicht-autonome Rekursion gegeben durch eine Funktion $F:(X^k\times T)\to X$ hei{\ss}t linear, wenn f\"ur jedes $t\in T$ 
die Funktion $(x_0,\dots,x_{k-1})\mapsto F(x_0,\dots,x_{k-1},t)$ linear ist. Die L\"osungen bilden einen Vektorraum der
Dimension $k\dim(X)$; die Abbildung, die jedem $k$-Tupel von Anfangswerten $(x_0,\dots,x_{k-1})\in X^k$ die eindeutig
bestimmte L\"osung der Rekursion mit diesen Anfangswerten zuordnet, ist ein Isomorphismus von Vektorr\"aumen.

Die oben beschriebene R\"uckf\"uhrung auf eine Rekursion erster Ordnung liefert in der Tat eine lineare Rekursion
erster Ordnung. Beschr\"anken wir uns daher (vorl\"aufig) auf lineare Rekursionen erster Ordnung. Es sei $X=\R^n$.
Dann kann man die Funktion $F$ auch schreiben als matrix-wertige Funktion $A:T\to \R^{n\times n}$, also
$F(x_0,\dots,x_{k-1},t):= A(t)\cdot (x_0,\dots,x_{k-1})$. Der Vektorraum-Isomorphismus  zwischen Anfangswerten
und L\"osungen l\"a{\ss}t sich ebenfalls als matrix-wertige Funktion $B\to \R^{n\times n}$ schreiben. Die L\"osung
$f:T\to\R^n$ der Rekursion
\[ \forall t\in T: f(t+1)=A(t) f(t) \]
l\"a{\ss}t sich dann schreiben als 
\[ g(t)=B(t) (g(0),\dots,g(k-1) ) . \]
Die Matrix $B$ erf\"ullt die Gleichungen
\[ \forall t: B(t+1) = A(t) B(t), \ B(0)=I_n . \]
Die Matrix $B(t)$ kann berechnet werden durch Aufmultiplizieren der Matrizen $A(0),\dots,A(t-1)$ von rechts nach links.

Im autonomen Fall ist das alles viel einfacher: statt einer matrix-wertigen Funktion haben wir eine einzige Matrix 
$A\in\R^{n\times n}$, und $B(t)=A^t$. Diesen Fall werden wir sp\"ater noch genauer studieren.

\begin{rem}
Wie erw\"ahnt, lassen sich nicht-autonome Rekursionen immer auf autonome Rekursionen zur\"uckf\"uhren. Leider wird
bei dieser Reduktion die Linearit\"at nicht beibehalten, drum ist die Theorie der nicht-autonomen linearen Rekursionen (bzw.
im kontinuierlichen Fall die Theorie der nicht-autonomen linearen Differentialgleichungen) komplizierter also
die Theorie der autonomen linearen Rekursionen (bzw. der autonomen linearen Differentialgleichungen). 
\end{rem}

Wenn nichts dazugesagt wird, verstehen wir unter einer ``linearen Rekursion'' eine homogene lineare Gleichung.
Die inhomogene lineare Rekursion f\"ur $f:T\to\R^n$ sieht so aus:
\[ \forall t\in T: f(t+1)=A(t) f(t) + b(t) , \]
wobei $A:T\to \R^{n\times n}$ eine gegebene matrixwertige Funktion und $b:T\to\R^n$ eine gegebene vektorwertige Funktion ist.
Es ist nicht schwierig, eine solche inhomogene Rekursion zur\"uckzuf\"uhren auf eine homogene lineare Rekursion
f\"ur $g:T\to \R^{n+1}$; die ersten $n$ Komponenten dieser neuen Rekursion bilden $f$, und die letzte ist konstant 1.

\section{Kontinuierliche Dynamische Systeme}

Hier ist $T=\R$ oder eine zusammenh\"angende Teilmenge von $\R$ (also ein Intervall); $X$ ist wieder ein endlich-dimensionaler
reellen Vektorraum oder eine Teilmenge eines endlich-dimensionalen reellen Vektorraums. Eine Funktion $f:T\to X$ wird
in diesem Fall beschrieben durch eine Differentailgleichung der Ordnung $k>0$:
\begin{equation} \label{degp} 
  \forall t\in T: f^{(k)}(t) = F(f(t),f'(t),\dots,f^{(k-1)}(t),t) , 
\end{equation}
wobei $F:(X^k\times T)\to X$ eine gegebene stetige Funktion ist. Im Unterschied zum diskreten Fall ist \"uberhaupt nicht
klar, ob die Funktion durch Anfangswerte eindeutig festgelegt ist. Der fundamentale Satz von Picard/Lindel\"of, den
wir beweisen und ausf\"uhrlich werden, besagt, da{\ss} unter gewissen Voraussetzungen f\"ur $F$ die L\"osung
$f$ der Differentialgleichung eindeutig durch die Anfamgswerte $f(0),f'(0),\dots,f^{(k-1)}(0)$ festgelegt ist, und auch 
auch da{\ss} f\"ur gegebene Anfanswerte immer eine L\"osung existiert.

In anderer Hinsicht ist die Theorie der kontinuierlichen Systeme daf\"ur wieder einfacher als die diskrete Theorie.
Zum Beispiel kann man im kontinuierlichen Fall sehr einfach ``die Zeit umdrehen'' und ein lineares System aufstellen,
das in die Vergangenheit schaut. Man braucht dazu nur in der Differentialgleichung $t$ durch $-t$ ersetzen. Im diskreten
Fall kann man die Rekursionen nicht nach r\"uckw\"arts verfolgen, weil zum Beispiel die Funktion $F:X\to X$
in der Rekursion $\forall t: f(t+1)=F(f(t))$ im allgemeinen nicht invertierbar ist.

Die oben besprochenen R\"uckf\"uhrungen f\"ur den diskreten Fall lassen sich auch auf den kontinuierlichen Fall
\"ubertragen. So kann man eine nicht-autonome Differentialgleichung f\"ur $f:T\to X$
\[ \forall t\in T: f'(t) = F(f(t),t) \]
zur\"uckf\"uhren auf eine autonome Gleichung f\"ur $g:T\to X\times T$. Und man kann eine Differentialgleichung
der Ordnung $k$ f\"ur $f:T\to X$ 
\begin{equation}
  \forall t\in T: f^{(k)}(t) = F(f(t),f'(t),\dots,f^{(k-1)}(t)) , 
\end{equation}
auf eine Differentialgleichung erster Ordnung f\"ur $g:T\to X^k$ zur\"uckf\"uhren.
Im letzteren Fall bleibt Linearit\"at erhalten, im ersteren nicht.

\section{Zusammenhang zwischen diskreten und kontinuierlichen Systemen}

Es gibt mehrere Querverbindungen zwischen dem diskreten und dem kontinuierlichen Fall.

\begin{itemize}
\item Falls in einer autonomen Differentialgleichung Existenz und Eindeutigkeit der L\"osung des Anfangswertproblems
   f\"ur $f:\R\to X$
   \[ \forall t\in\R: f'(t)=F(f(t)) \]
   erf\"ullt ist, haben wir f\"ur jede Schrittweite $h>0$ eine Funktion $G:X\to X$, sodass f\"ur alle $t\in\R$
   die Gleichung $f(t+h) = G(f(t))$ gilt. Die Funktion $G$ berechnet also den Wert nach Zeiteinheit $h$ und stellt
   eine Diskretisierung der Differentialgleichung dar. Die L\"osungen der Rekursion f\"ur $g:\N\to X$,
   $\forall t\in\N: g(t+1)=G(g(t))$ sind Folgen $(f(t_0),f(t_0+h),f_(t_0+2h),\dots)$ von Funktionswerten der
   L\"osung der Differentialgleichung.
\item F\"ur kleine numerische Werte von $h$ kann ein $G$ wie oben approximativ berechnet werden. Auf diese Weise
   erh\"alt man numerische Verfahren zum Auswerten von L\"osungen von Anfangswertproblemen.
\item Wenn die L\"osungen einer Differentialgleichung bei $0$ analytisch sind -- das hei{\ss}t, dass alle
   Ableitungen bei $0$ existieren und die Taylorreihe in einem geeigneten Konvergenzbereich gegen die Funktion
   konvergiert --, dann bilden die Ableitungen bei $0$ eine Folge. Diese Folge erf\"ullt eine Rekursion, die
   sich oft direkt aus der Differentialrechnung berechnen l\"a{\ss}t.
\item Umgekehrt kann man aus einer Folge, die eine Rekursion l\"ost, eine Potenzreihe bilden und hoffen, da{\ss}
   die Potenzreihe konvergiert. Wenn ja, dann erf\"ullt sie oft eine Differentialgleichung, die sich direkt
   aus der Rekursion ableiten l\"a{\ss}t.
\item Bei der qualitativen Beschreibubg von L\"osungen von Differentialgleichung f\"ur $t\to\infty$ gibt es eine
   wichtige Methode, die wir noch diskutieren werden: man bildet eine Durchschnittsmenge $H\subset X$ und untersucht
   die Folge der Schittpunkte einer L\"osung in der zeitlichen Reihenfolge. Diese Folge erf\"ullt ebenfalls eine
   Rekursion, und qualitative Eigenschaften dieser Rekursion h\"angen eng zusammen mit qualitativen Eigenschaften
   der zu untersuchenden Differentialgleichung.
\end{itemize}

\section{Skalare autonome Differentialgleichungen}

Hier ist $T=\R$. Gegeben ist eine stetige Funktion $F:T\to X$, und gesucht
ist $f:T\to\R$ differenzierbar, soda{\ss} 
\begin{equation} \label{scal} \forall t\in \R: f'(t)=F(f(t)) \end{equation}
gilt. Bevor wir uns konkreten L\"osungsverfahren zuwenden, wollen wir versuchen, qualitativ etwas
\"uber die L\"osung auszusagen ohne die L\"osung tats\"achlich zu berechnen. Numerische und exakte
Methoden zur L\"osung werden sp\"ater noch besprochen.

Das asymptotische Verhalten der L\"osung wird durch das Vorzeichen von $F$ bestimmt: wenn f\"ur ein $t_0\in T$
der Wert $F(f(t_0))$ positive bzw. negativ ist, dann ist die Funktion bei $t_0$ streng monoton steigend bzw. fallend.
Wenn die Menge der Nullstellen von $F$ diskret ist, k\"onnen wir $X$ unterteilen in offene Intervalle, in denen 
$F$ positiv oder negativ ist, und deren Randpunkte, n\"amlich die Nullstellen. 

Es sei zun\"achst $x_0\in X$ eine Nullstelle von $F$. Dann ist die konstante Funktion $f:t\to x_0$ eine L\"osung
der Differentialgleichung. Mit den Begriffen, die im n\"achsten Abschnitt eingef\"uhrt werden, wird der Punkt $x_0$
als ``Gleichgewichtspunkt'' oder ``Equilibrium'' bezeichnet.

\begin{example}
Es sei $F:\R\to\R$ die ``logistische Funktion'' $x\mapsto x(1-x)$. Die entsprechende Differentialgleichung
f\"ur $f:\R\to\R$,
\[ \forall t: f'(t) = f(t)(1-f(t)) \]
wird verwendet zur Beschreibung
einer Population. Solange die Bev\"olkerung $f(t)$ im Verh\"altnis zu $1$ klein ist, ist die \"Anderungsrate proportional
zu $x$. Wenn $f(t)$ aber in die N\"ahe des Schwellwerts $1$ kommt, wird das Wachstum kleiner und kann f\"ur $f(t)>1$
auch negativ werden.

Die Differentialgleichung besitzt genau zwei Equilibrien, bei denen die Bev\"olkerung konstant bleibt,
n\"amlich $f_1(t)=0$ und $f_2(t)=1$.
\end{example}

Ein wenig schwieriger, aber immer noch leicht zu verstehen, ist die Situation im folgenden Satz:

\begin{thm} \label{thm:asd1}
Es sei $x_0\in X$ eine Nullstelle von $F$. Es sei $(a,x_0)$ ein Intervall, in dem $F$ positiv ist $(a=-\infty$ ist erlaubt).
Es sei $(x_0,b)$ ein Intervall, in dem $F$ negativ ist. Es sei $f:\R\to\R$ eine L\"osung der Differentialgleichung, soda{\ss}
$f(0)\in (a,b)$ ist. Dann gilt $\lim_{t\to +\infty} f(t)=x_0$ (insbesondere existiert der Grenzwert).
\end{thm}

\begin{proof}[Beweis]
Wir definieren die Funktion $g:\R\to\R$, $t\mapsto (f(t)-x_0)^2$. Weil $f$ differenzierbar ist -- schliesslich ist $f$
ja eine L\"osung der Differentialgleichung, ist auch $g$ differenzierbar. Au{\ss}erdem gilt f\"ur alle $t$
\[ g'(t)=2f'(t)(f(t)-x_0) = 2 F(f(t))(f(t)-x_0) , \]
und dieser Wert ist in einer Umgebung von $t=0$ negativ: wenn n\"amlich $(f(t)-x_0)$ positiv ist, ist $F(f(t))$ negativ,
und wenn $(f(t)-x_0)$ negativ ist, ist $F(f(t))$ positiv. Daher ist die Funktion bei $0$ monoton fallend, das hei{\ss}t
der Abstand des Funktionswertes zum Equilibrium wird kleiner. Es kann dann auch nicht passieren, da{\ss} der Wert von
$f$ aus dem Intervall herauskommt, und die Funktion $g$ ist auf ganz $\R_+$ monoton fallend. Dann ist auch $f$ 
monoton steigend oder fallend, je nachdem
ob $f(0)$ gr\"o{\ss}er oder kleiner als $x_0$ ist. Daraus folgt auch, da{\ss} der Grenzwert $x_1:=\lim_{t\to +\infty} f(t)$
existiert. Wir m\"ussen noch zeigen, da{\ss} $x_1=x_0$ ist.

Da $f$ bei $x_1$ eine waagrechte Asymptote hat, gilt
\[ 0  = \lim_{t\to +\infty} f'(t) = \lim_{t\to +\infty} F(f(t)) = F(\lim_{t\to +\infty} f(t)) = F(x_1) . \]
Die einzige Nullstelle von $F$, die noch n\"aher bei $x_0$ liegt als $f(0)$, ist aber $x_0$ selbst.
\end{proof}

Im obigen Beispiel sind die Voraussetzungen f\"ur das Equilibrium $x_0=1$ erf\"ullt, daher konvergiert der Funktionswert
f\"ur alle Startwerte in $(0,\infty)$ gegen $1$.

\section{Stabile und Asymptotisch Stabile Equilibrien}

Im Satz~(\ref{thm:asd1}) wird eine Situation beschrieben, die man gerne verallgemeinern m\"ochte: ``stabile Equilibrien''
sollten Umgebungen besitzen, soda{\ss} L\"osungen mit Startwert in der Umgebung nicht mehr aus dieser Umgebung
ausbrechen und schlussendlich gegen das Equilibrien konvergieren. Leider l\"a{\ss}t sich so eine Umgebung, aus der
es kein Entkommen mehr gibt, nicht immer (und wenn, dann auch nur schwer) nachweisen. Es erweist sich, da{\ss} man
sich das Leben langfristig leichter macht, wenn man eine zus\"atzliche ``Analysis-Klausel'' in die Definition einbaut.

Es sei $n>0$.
Es sei $X$ eine offene Menge in $\R^n$ und $x_0\in X$ ein Punkt. Es sei $F:X\to\R^n$ ein stetiges Richtungsfeld,
welches ein kontinuierliches dynamisches System durch die Differentialgleichung $\forall t: f'(t)=F(f(t))$ 
f\"ur $f:\R\to X$ beschreibt. 

\begin{definition}
Wenn $F(x_0)=0$ ist, dann nennen wir $x_0$ ein Equilibrium f\"ur das dynamische System beschrieben durch $F$.
\end{definition}

Wie schon erw\"ahnt, ist f\"ur jedes Equilibrium $x_0$ die konstante Funktion $f(t)=x_0$ eine L\"osung der Differentialgleichung
mit Anfangswert $x_0$. 

\begin{definition} \label{def:stabil}
Es sei $x_0$ ein Equilibrium. Wir nennen es ein stabilies Equilibrium, wenn f\"ur jede Umgebung $U$ von $x_0$ eine
Umgebung $V$ von $x_0$ existiert, soda{\ss} f\"ur jede L\"osung $f$ der Differentialgleichung mit Startwert $f(0)\in V$
ein $t_1>0$ exitiert, soda{\ss} $f(t)\in U$ gilt f\"ur alle $t>t_1$.
\end{definition}

Ein Beispiel, bei dem die Analysis-Klausel schlagend wird, ist das dynamische System auf $X=\R^1$ gegeben durch
die Funktion $F:\R\to\R$, $F(t)=t\sin(1/t)$ (f\"ur $t\ne 0$ definiert, in den Wert $t=0$ stetig durch $F(0)=0$
fortgesetzt. Die Equilibrien sind $0$ und die Zahlen $\frac{1}{k\pi}$, $k\in\Z\setminus\{0\}$. F\"ur ungerade $k$
ist die Voraussetzung von Satz~(\ref{thm:asd1}) erf\"ullt, und diese Gleichgewichtspunkte sind daher auch stabil.
F\"ur gerade $k$ haben wir eine zeitliche Umkehrung der Stabilit\"at: die L\"osungen in der N\"ahe driften vom
Gleichgewichtspunkt weg. Diese sind also nicht stabil. Der interessanteste Gleichgewichtspunkte ist der Nullpunkt.
In jeder Umgebung dieses Gleichgewichtspunkts befinden sich sowohl stabile als auch instabile Equilibrien
vom vorigen Typ. Jede nichtkonstante L\"osung wird von einem stabilen Equilibrium eingefangen, und zwar von einem
der nicht weit weg vom Startwert ist (zumindest durch kein anderes Equilibrium getrennt). F\"ur jede Umgebung $U$
von $0$ k\"onnen wir daher eine Umgebung von $V$ angeben, sodass $U$ sowohl $V$ als auch alle Equilibrien enth\"alt, die 
mit die L\"osungen mit Startwert in $V$ einfangen. Mit anderen Worten: $0$ ist ein stabiles Equilibrium.

Der Begriff Stabilit\"at dr\"uckt zwar das ``Nicht-Ausbrechen'' aus, aber nicht die Limes-Eigenschaft. Wir definieren
daher zus\"atzlich:

\begin{definition} \label{def:astabil}
Es sei $x_0$ ein stabiles Equilibrium. Wir nennen es asymptotisch stabil, wenn eine Umgebung $W$ von $x_0$ existiert,
soda{\ss} jede L\"osung mit Startwert in $W$ gegen $x_0$ konvergiert.
\end{definition}

Wenn die Voraussetzungen von Satz~(\ref{thm:asd1}) erf\"ullt sind, dann haben wir ein asmyptotisch stabiles Equilibrium,
wie man sich leicht \"uberlegen kann. Im Beispiel vorhin ist das stabile Equilibrium bei $0$ nicht asymptotisch stabil:
die Grenzwerte existieren zwar immer, aber sind in der Regel andere Equilibrien (solche mit ungeraden $k$).
Wir haben aber noch ein viel einfacheres Beispiel eines stabilen, aber nicht asymptotisch stabilen Equilibriums,
n\"amlich f\"ur das Richtungsfeld $F:X\to\R^n$, $x\mapsto 0$. Jeder Punkt ist ein Equlibrium, alle Equilibrien sind
stabil, keines davon ist asymptotisch stabil.

\medskip

In der Mathematik versuchen wir bei den Definitionen, so wenig wir m\"oglich zu verlangen. Bei der Definition der
asymptotischen Stabilit\"at k\"onnte man meinen, da{\ss} die Voraussetzung der Stabilit\"at vielleicht \"uberfl\"ussig
ist: es k\"onnte sein, dass aus der Aussage 
\begin{quote} es existiert eine Umgebung $W$ von $x_0$, soda{\ss} jede L\"osung mit Startwert in $W$ gegen $x_0$ konvergiert
\end{quote}
schon die Stabilit\"at von $x_0$ folgt. Im Fall $X\subset\R^1$ kann man zeigen, dass das tats\"achlich der Fall ist:
wenn die obige Aussage erf\"ullt ist, dann k\"onnen sich die Nullstellen von $F$ nicht bei $x_0$ h\"aufen, sonst
h\"atte jede m\"ogliche Umgenung $W$ ein weiteres Equilibrium und damit eine L\"osung, die nicht gegen $x_0$ konvergiert.
Die Voraussetzung von Satz~(\ref{thm:asd1}) ist daher erf\"ullt, und damit haben wir Stabilit\"at. Wir werden aber
sp\"ater zwei-dimensionale dynamische Systeme sehen, die ein Euilibrium haben, welches die obige Aussage erf\"ullt, 
die aber nicht stabil sind (und daher auch nicht asymptotisch stabil).

\medskip

Das Phasenportrait ist eine graphische Darstellung eines dynamischen Systems, in dem die einzelnen L\"osungen als
Kurven in $X$ dargstellt werden, und die Durchlaufrichtung der Kurve mit einem Pfeil bezeichnet wird.
Die Kurven bzw. Punkte (im Fall von Equilibrien) nennen wir auch {\em Bahnen}. Voraussetzung f\"ur das Erstellen
des Phasenprortraits sind die Eindeutigeit (Bahnen sind disjunkt) und zumindest lokale Existenz (jeder Punkt hat
eine Bahn) von L\"osungen. Wenn die Voraussetzungen erf\"ullt sind, bilden die Bahnen eine Partition von $X$.

Im Fall $X\subset\R^1$ kann man das Phasenportrait zeichnen der Differentialgleichung f\"ur $f:T\to X$,
$\forall t:f'(t)=F(f(t))$ zeichnen, wenn man die Nullstellen von $F$ kennt und das Vorzeichen des Wertes von
$F$ in den Intervallen zwischen den Nullstellen. Die Nullstellen entsprechen konstanten L\"osungen und werden
als Punkte dargestellt. Die Intervalle sind ebenfalls Bilder von L\"osungskurven. Die Richtung ist aufw\"arts
in Intervallen, in denen $F$ positiv ist, und abw\"arts in Intervallen, in denen $F$ negativ ist.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[height=3cm]{logpp.pdf}
\end{center}
\caption{Phasenportr\"at der logistischen Differentialgleichung $f'(t)=f(t)(1-f(t))$. Der Bildraum wird besteht
aus 5 Bahnen. Zwei davon sind Punkte, der Punkt $1$ ist asymptotsch stabil.}
\end{figure}

\section{Bifurkationen}

Angenommen, wir haben ein dynamisches System, das stetig von einem (oder mehreren) Parameter abh\"angt. Welchen Einfluss
haben kleine \"Anderungen der Parameter auf Stabilit\"ats-Eigenschaften der Equilibrien? Diese Fragestellung wird
im Lauf der Vorlesung noch ausf\"uhrlich behandelt; an dieser Stelle nur eine Vorschau auf den Begriff der Bifurkation
mit einigen Beispielen.

In den folgenden Beispielen gehen wir von einer stetigen Funktion $F:\R^2\to\R$, $(\lambda,x)\mapsto F(\lambda,x)$ aus. 
F\"ur ein fixes $\lambda\in\R$ sei $F_\lambda$ die Funktion $\R\to\R$, $x\mapsto F(\lambda,x)$. Diese definiert
die parameterabh\"angige Differentialgleichung f\"ur $f:\R\to\R$
\[ \forall t: f'(t) = F_\lambda(f(t)) . \]

\begin{example}
Wir beginnen mit $F_\lambda(x)=-x+\lambda$. Dieses System hat f\"ur jedes $\lambda\in\R$ genau ein
Equilibrium, und zwar bei $\lambda$. Die Voraussetzungen von Satz~\ref{thm:asd1} sind erf\"ullt, also ist das 
Gleichgewicht asymptotisch stabil. Das Equilibrium \"andert zwar die Position, aber der Typ bleibt unver\"andert,
wenn man den Parameter \"andert. Dieses Ph\"anomen werden wir sp\"ater als {\em strukturell stabil} bezeichnen.
\end{example}

\begin{example} (Sattelknoten)
Das n\"achste Beispiel ist $F_\lambda(x)=x^2-\lambda$. F\"ur $\lambda<0$ gibt es keine Equilibrium. F\"ur $\lambda>0$
existieren zwei Equilibrien bei $\pm\sqrt{\lambda}$. Das Equilibrium bei $-\sqrt{\lambda}$ ist asymptotisch stabil,
das andere nicht. Im Grenzfall $\lambda=0$ haben wir ein Equilibrium, welches ``halbseitig stabil'' ist: Bahnen von
unten konvergieren, Bahnen von oben nicht.
\end{example}

\begin{example} (transkritisch)
Nun sei $F_\lambda(x)=x(x-\lambda)$. Hier gibt es f\"ur fast alle $\lambda$ zwei Equilibrien bei $0$ und bei $\lambda$,
au{\ss}er bei $\lambda=0$, wo beide zusammenfallen. Beim \"Ubergang von negativen zu positiven Parametern wechseln
die Equilibrien den Typ: f\"ur negative $\lambda$ ist das Equilibrium bei $\lambda$ stabil und das bei $0$ nicht.
F\"ur positive $\lambda$ ist es umgekehrt. 
\end{example}

Im Bifurkationsdiagramm verwenden wir $\lambda$ und $x$ als Koordinaten. Die Nullstelle von $F$ in der $(\lambda,x)$-Ebene
ist im allgemeinen eine Kurve. Wir zeichnen die Teile der Kurve, die stabilen Equilibrien entsprechen, mit dicker
Strichst\"arke, und die anderen Teile strichliert. Die Regel ist: wenn unterhalb eines Kurvenzweiges die Funktion $F$
positiv ist und oberhalb negativ, dann wird dieser Teil dick gezeichnet, sonst strichliert.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{bifur.pdf}
\end{center}
\caption{Bifurkationsdiagramme f\"ur die parameterabh\"angigen Differentialgleichungen $f'(t)=-f(t)+\lambda$,
$f'(t)=f(t)^2-\lambda$, $f'(t)=f(t)(f(t)-\lambda)$. Stabile Equilibrien sind fett durchgezeichnet, die anderen
strichliert.}
\end{figure}

\section{L\"osungsverfahren} \label{sec:solve}

Es gibt Anekdoten von Mathematikern, die mit einem rechnerischen Problem konfrontiert werden, eine Nacht lang nachdenken
und danach stolz verk\"unden: ``ich habe gezeigt, dass eine L\"osung existiert''. Meistens bleibt der Applaus aus;
man erwartet sich oft mehr. Doch was hei{\ss}t das eigentlich genau, eine Gleichung l\"osen?

Ein eklatanter Fall ist die allgemeine Gleichung vierten Grades f\"ur $x\in\C$:
\[ x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 = 0, \]
wobei $a_0,a_1,a_2,a_3\in\C$ gegeben sind. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra existieren 4 L\"osungen, die auch 
zusammenfallen k\"onnen. Die Formel con Ferrara ist ein Ausdruck f\"ur die L\"osung, der neben den arithmetischen 
Operationen $(+,-,\cdot,:)$ auch Wurzeln enth\"alt. Die Wurzel ist im komplexen eine mehrdeutige Operation, und
bei der richtigen Wahl der Auswertung bekommt man die 4 L\"osungen.

Es besteht also kein Zweifel, dass die Formel von Ferrara die obige Gleichung vollst\"andig l\"ost. Auf der
anderen Seite wird die Formel kaum verwendet zum numerischen Berechnen der L\"osung, und zwar aus zwei Gr\"unden.
erstens ist die Formel kompliziert und die Wurzeln sind im komplexen nicht leicht auszuwerten (zu Ferrara's Zeiten
verwendete man dazu Winkelfunktionen). Zweitens steht ein einfaches numerisches N\"aherungsverfahren zur Verf\"ugung,
das schnell konvergiert, n\"amlich das Newton-Verfahren. Ist dann nicht die Newton-Methode gemeinsam mit dem
Fundamentalsatz der Algebra, der die Existenz und Anzahl der L\"osungen garantiert, nicht eine bessere ``L\"osung''
als Ferrara's Formel?

Im Fall von dynamischen Systemen ist nicht eine Zahl, sondern eine Funktion gesucht, das macht die Frage, was ``L\"osung''
bedeutet, auch nicht gerade einfacher. Wenn wir uns die Option einer numerischen L\"osung offenhalten wollen,
liegt folgende Definition nahe: {\em eine Differentialgleichung f\"ur $f$ ist gel\"ost, wenn wir zu einem gegebenen Anfangswert
$f(0)$ und zu einer gegebenen Stelle $\tau$ die Zahl $f(\tau))$ berechnen k\"onnen, sei es mit einer Formel oder mit
einem numerischen N\"aherungsverfahren.} 

Wenden wir die gleiche Definition auch f\"ur die Rekursion f\"ur $f:\N\to X$: $f(t+1)=F(f(t))$ an, dann ist die Rekursion
selbst auch schon eine L\"oung, weil sie als rekursiver Algorithmus gelesen werden kann.

F\"ur Differentialgleichungen ist die Sache nicht so einfach. Sei $n\in\N$, $X\subset\R^n$, $F:X\to\R^n$; und wir wollen
die Differentialgleichung 
\[ \forall t: f'(t) = F(f(t)) \]
f\"ur $f:\R\to X$ l\"osen. Sei $\tau>0$. Im Eulersche Polygonzugverfahren w\"ahlen wir zun\"achst $N\in\N$ -- je gr\"o{\ss}er
$N$, desto h\"oher ist der Rechenaufwand, aber wir erwarten auch eine h\"ohere Genauigkeit -- und unterteilen das Intervall
$[0,\tau]$ in $N$ Teilintervalle der L\"ange $h:=\frac{\tau}{N}$. Dann definieren wir eine Rekursion f\"ur $g_N:\N\to X$
\[ \forall t: g_N(t+1) = g_N(t)+hF(g_N(t)) \]
hoffend dass die rechte Seite in $X$ liegt. Wenn nicht, bricht das Verfahren mit einer Fehlermeldung ab (das kann nicht
passieren wenn $X=\R^n$ ist). Als Startwert setzen wir $g_N(0)=f(0)$, den gegebenen Startwert von $f$. Und der N\"aherungswert
von $f(\tau)$ ist $g_N(N)$ -- allgemeiner, f\"ur alle $i\ge 0$ ist $g_N(i)$ ein N\"aherungswert f\"ur $f(hi)$.

Zwei schwerwiegende Einw\"ande muss man an dieser Stelle machen. Erstens ist noch gar nicht ausgemacht, dass \"uberhaupt
ein L\"osung $f$ mit dem abgegebenen Startwert existiert. Und zweitens, selbst wenn die L\"osung existiert und eindeutig ist,
dann ist auch nicht klar, ob $\lim_{N\to\infty}g_N(N)$ existiert und gleich $f(\tau)$ ist. Beide Fragen werden an
sp\"aterer Stelle noch behandelt werden.

\section{Symbolische L\"osungen}

Das Beispiel der Gleichung vierten Grades war nicht typisch: mitunter sind L\"osungsformeln einfacher und schneller
auswertbar als numerische Verfahren (wenn man wei{\ss} wie man sie findet). Das Entwickeln von Algorithmen zum Berechnen 
von L\"osunsformeln ist Aufgabe der mathematischen Disziplin ``Symbolisches Rechnen''. Es ist nat\"urlich nicht so,
dass immer eine L\"osungsformel existiert. Ob das so ist, h\"angt von der Sprache ab, die man vorher definieren muss
und die genau festlegt was eine Formel ist.

Ein ber\"uhmtes Beispiel aus der Algebra ist die allgemeine Gleichung f\"unften Grades f\"ur $x\in\C$:
\[ x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 = 0, \]
wobei $a_0,a_1,a_2,a_3,a_4\in\C$ gegeben sind. Abel/Ruffini/Galois haben gezeigt, dass es keine L\"{o}sungsformel
gibt, die aus den arithemetischen Operationen und Wurzeloperationen besteht.

Ein oft verwendeter Begriff einer Formel ist die Menge der elementaren Funktionen: eine Funktion einer Teilmenge
von $\C$ nach $\C$ hei{\ss}t elementar, wenn sie sich ausdr\"ucken l\"asst durch arithemtische Operationen, 
Exponentialfunktionen und Logarithem (Wurzelfunktionen braucht man nicht, weil die sich mit Exponentialfunktionen
und Logaritmen ausdr\"ucken lassen). Diese Klasse von Funktionen ist relativ eingeschr\"ankt, und viele Göeichungen
sind mit diesem Formelbegriff unl\"osbar, etwas das Invertieren von Funktionen, das auf eine algebraische Gleichung f\"uhrt.
Auch Integrationsprobleme und damit Differentialgleichungen sind manchmal unl\"osbar, etwa die Gleichung f\"ur $f$
\begin{equation} \label{eq:erf}
  \forall t: f'(t)=e^{t^2} . 
\end{equation}
Die elementare Funktion $t\mapsto e^{t^2}$ hat keine elementare Stammfunktion. 

Ein Satz von Lieuville gibt Aufschluss dar\"uber, wie Stammfunktion einer elemetaren Funktion ausschauen muss,
falls \"uberhaput eine existiert. Die untenstehende Formulierung ist etwas salopp; die genaue Formulierung ist
technisch aufw\"andig, und wir sparen sie ein, weil wir sowieso in dieser Vorlesung nicht mit diesem Satz arbeiten werden.

\begin{thm} Es sei $f$ eine elementare Funktion und $F$ eine elementare Stammfunktion. Dann treten als Argumennte von
Exponentialfunktionen in $F$ nur solche Ausdr\"ucke auf, die auch schon als Argumente von Exponentialfunktionen
in $f$ auftreten; aund als Argumente von Logarithmen in $F$ treten entweder Ausdr\"ucke auf, die auch schon als
Argunente von $f$ in Logarithmen auftreten, oder in $f$ im Nenner eines Bruches stehen; im zweiteren Fall ist $F$
eine lineare Funktion von diesem Logarithmus.
\end{thm}

Der Beweis des Satzes von Lieuville (den wir hier nicht angeben) ist konstruktiv. Er liefert einen Algorithmus,
der entscheidet, ob eine gegebene elementare Funktion eine Stammfunktion hat, und berechnet diese im Fall dass sie existiert.

Ein wichtiger Spezialfall ist die Unterklasse der rationalen Funktionen, also Funktionen, die sich nur durch arithmetische
Operationen darstellen lassen. Diese haben immer elementare Stammfunktionen, und nach dem Satz von Lieuville treten
keine Exponentialfunktionen, nur Logarithmen von Faktoren des Nenners. Mit Hilfe der Methode der
Partiabruchzerlegung kann eine elementare Stammfunktion berechnet werden (siehe Skriptum f\"ur Analysis).

W\"urde man die Sprache erweitern und zus\"atzlich zu arithmetischen Operationen, Exponentialfunktion und Logarithmus
auch noch unbestimmte Integrrale zulassen und Funktionen, die sich in dieser Sprache schreiben lassen, etwa ``intelementare
Funktionen'' nennen, dann hat man nat\"urlich \"uberhaupt kein Problem, die Gleichung~(\ref{eq:erf}) zu l\"osen:
$f(x)=\int e^{x^2}dx$. Allgemein hat jede intelementare Funktion $g$ eine intelementare Stammfunktion, n\"amlich
$\int g(x)dx$. 

\subsection{Trennung der Variablen}

Es seien $T\subset\R$ und $X\subset\R$ Intervalle, $a:X\to\R^\ast$ und $b:T\to\R$ stetige Funktionen
(zur Erinnerung: wenn $K$ ein K\"orper ist, dann ist $K^\ast$ die Menge aller Elemente ungleich $0$).
Wir l\"osen die nichtautonome Differentialgleichung f\"ur $f:T\to X$
\[ \forall t: f'(t) = \frac{b(t)}{a(f(t))} \]
durch R\"uckf\"uhrung auf Integration und Funktionsumkehrung.

Es seien $A:=\int a$ und $B:=\int b$ Stammfunktionen von $a$ und $b$. Da die $A'(x)\ne 0$ ist f\"ur alle $x\in X$,
ist $A:X\to Y$ invertierbar, wenn $Y$ die Bildmenge von $A$ ist.

\begin{thm}
In der Notation wie oben ist $A^{-1}\circ B$ eine L\"osung. Umgekehrt l\"a{\ss}t sich jede L\"osung schreiben
als $t\mapsto A^{-1}(B(t)+c)$ f\"ur eine geeignete Zahl $c\in\R$.
\end{thm}

\begin{proof}[Beweis]
Es sei $h$ eine differenzierbare Funktion von $T$ nach $X$. Dann ist $A\circ h$ genau dann eine L\"osung
der Differentialgleichung, wenn 
\[ (A\circ h)'= (A'\circ h)\cdot h' = (a\circ h)\cdot\frac{b}{a\circ h} = b \]
ist, also genau dann wenn $A\circ h$ eine Stammfunktion von $b$ ist (zum Beispiel $B$).
%Es sei $g:=A^{-1}\circ B$. Dann ist
%\[ g' = (A^{-1}\circ B)' = (A^{-1 '}\circ B)\cdot B' = \left(\frac{1}{A'\circ A^{-1}}\circ B\right)\cdot b = 
%    \frac{b}{A'\circ A^{-1}\circ B} = \frac{b}{a\circ g} , \]
%also l\"ost $g$ die Differentialgleichung.
%
%Es sei $h$ eine L\"osung der Differentialgleichung. Dann ist
%\[ (A\circ h)'= (A'\circ h)\cdot h' = (a\circ h)\cdot\frac{b}{a\circ h} = b ,\]
%also ist $A\circ h$ eine Stammfunktion von $b$.
\end{proof}

Man beachte, dass die L\"osung $g=A^{-1}\circ B$ nicht in ganz $T$ definiert sein muss: damit $g$ beim Wert $t$ definiert ist,
muss $B(t)$ in $Y$ liegen (dem Definitionsbereich von $A^{-1}$).
Wenn zus\"atzlich zur Differentialgleichung eine Anfangsbedingung $f(t_0)=x_0$ gegeben ist, wobei $t_0\in T$ und $x_0\in X$
ist, dann ist die Konstante $c=A(x_0)-B(t_0)$ eindeutig festgelegt. Wenn also \"uberhaupt eine L\"osung existiert,
dann ist diese eindeutig.

\begin{rem}
Es gibt Beispiele, bei denen das Anfangswertproblem keine L\"osung hat, die auf ganz $T$ definiert ist (etwa \"Ubung 3, Beispiel 4a).
Wenn $T$ und $X$ offen sind, dann gibt es aber immer lokal eine L\"osung, d.h. es existiert eine Umgebung von $t_0$, auf der die L\"osung definiert ist.
{\em Beweis:} Damit die L\"osung $t\mapsto A^{-1}(B(t)+A(x_0)-B(t_0))$ f\"ur $t$ definiert ist, muss $B(t)+A(x_0)-B(t_0)$ in $Y$ liegen.
F\"ur $t=t_0$ ist das der Fall. Nachdem $A$ streng monoton ist, ist $Y=A(X)$ ebenfalls offen.
Es sei $V:=\{ y-A(x_0)+B(t_0)\mid y\in Y\}$; diese Menge ist auch offen. Weil $B$ stetig ist, ist das Urbild $U:=B^{-1}(V)$ wieder offen. Weil $B(t_0)\in V$ gilt,
ist $U$ eine offene Umgebung von $t_0$. F\"ur $t\in U$ ist $B(t)\in V$, daher ist $B(t)+A(x_0)-B(t_0)\in Y$, daher ist die L\"osung f\"ur $t$ definiert.
\end{rem}

\medskip
Zwei wichtige Spezialf\"alle sind der autome Fall und der lineare Fall. Im autonomen Fall ist $X=\R$, $t_0=0$, 
und $b$ die konstante Funktion $1$.
Im Anfangswertproblem bei der allgemeinen autonomen Differentialgleichung f\"ur $f$
\[ \forall t: f'(t)= F(f(t)) \]
k\"onnen wir daher zwei F\"alle unterscheiden: entweder ist $f(0)$ ungleich $0$, dann k\"onnen wir eine
die Methode TdV anwenden. Oder $f(0)=0$, dann existoert auf jeden Fall eine konstante L\"osung. 
In einem \"Ubungsbeispiel haben wir gesehen, dass die L\"osung im zweiten Fall nicht eindeutig sein muss

\medskip
Der zweite Spezialfall ist die lineare Gleichung. Hier ist $X=\R$ und die Gleichung f\"ur $f$ ist
\[ \forall t: f'(t) = b(t)f(t) . \]
Wenn der Startwert $f(x_0)\ne 0$ ist, dann verkleinern wir $X$ auf $\R^\ast$, setzen $a:X\to\R$ als $x\to\frac{1}{x}$
und k\"onnen die allgemeine L\"osung hinschreiben:
\[ f(t) = e^{B(t)+c} = c_1e^{B(t)} ; \]
wenn man die Stammfunktion $B$ geleich $t\mapsto \int_{t_0}^t b(s)ds$ ist, dann ist $c_1$ gleich dem Startwert $x_0$.
Die L\"osung ist auf ganz $\R$ definiert und nimmt hat keine Nullstellen.

Wenn der Startwert gleich $0$ ist, dann hat man die konstante L\"osung $f(t)=0$. Sie ist auch die einzige, weil alle
anderen L\"osungen keine Nullstellen haben. 

\medskip
Es sei $F:\R\to\R$ stetig. Die Euler-homogene Differentialgleichung f\"ur $f:\R^\ast\to\R$
\[ \forall t: f'(t) = F\left( \frac{f(t)}{t} \right) \]
l\"a{\ss}t sich durch die Substitution $f(t)=tg(t)$ auf eine Differentialgleichung f\"ur $g$ zur\"uckf\"uhren,
f\"ur die an TdV anwenden kann (\"Ubung).

\medskip
Hier noch ein Trick, der hilft, TdV anzuwenden ohne die Formel auswendig zu lernen. Er besteht aus Umformungen der
Differentialgleichung in Pseudo-Göeichungen, die zwar mit einem Gleichheitszeichen ausgestattet sind, aber deren beide
Seiten nicht immer sinnvolle mathematische Ausdr\"ucke sind.
\[ f'(t) = \frac{b(t)}{a(f(t))} \]
\[ \frac{df}{dt} = \frac{b(t)}{a(f)} \]
\[ a(f)df = b(t)dt \]
\[ \int a(f)df = \int b(t)dt \]
\[ A(f) = B(t)+c \]
\[ f = A^{-1}(B(t)+c) \]

\subsection{Reduktion der Ordnung}

Wir f\"uhren nun eine autonome Differentialgleichung zweiter Ordnung auf eine Differentialgleichung erster Ordnung,
im allgemeinen nicht autonom. F\"ur allgemeine Differentialgleichungen erster Ordnung gibt es keine symbolische
L\"osung, aber in manchen F\"allen l\"asst sich dann TdV anwenden.

Es sei $F:\R^2\to\R$ stetigs; wir untersuchen die Differentialgleichung f\"ur $f:\R\to\R$
\[ \forall t: f''(t) = F(f(t),f'(t)) . \]
Wir nehmen an, dass $f'(t_0)\ne 0$ ist. Dann ist $f$ lokal invertierbar und es existiert lokal eine Funktion
$g:U\to\R$, $U$ eine Umgebung von $f(t_0)$, sodass $f'(t)=g(f(t))$ gilt, wann immer die rechte Seite definiert ist.
Wir leiten nun beide Seiten der Gleichung $f'(t)=g(f(t))$ ab und verwenden die Differentialgleichung:
\[ F(f(t),g(f(t))) = F(f(t),f'(t)) = f''(t) = g'(f(t)) f'(t) = g'(f(t)) g(f(t)) . \]
In dieser Gleichung kommt $t$ nur als Argument von $f$ vor. Wir setzen $s:=f(t)$ und erhalten
\[ F(s,g(s)) = g'(s) g(s) . \]
Das ist eine Differentialgleichung f\"ur $g$. Wenn $F$ nicht von der zweiten Variable abh\"angt, dann kann TdV
anegewandt werden und man bekommt eine L\"osung f\"ur $g$. Um $f$ zu finden, muss man in einem zweiten Schritt
nch die Gleichung $f'(t)=g(f(t))$ l\"osen; hier greift TdV ebenfalls.

\medskip

Wenn man von einer linearen Differentialgleichung eine L\"osung kennt, kann man die Ordnung ebenfalls reduzieren.
Es sei $k\in\N$, $T\subset\R$, und $a_0,\dots,a_{k-1}:T\to\R$ stetig. F\"ur die Differentialgleichung f\"ur $f:T\to\R$
\begin{equation} \label{eq:l}
  \forall t: f^{(k)}(t)+a_{k-1}(t)f^{(k-1)}(t)+\dots+a_1(t)f'(t)+a_0(t)f(t) = 0 
\end{equation}
brauchen wir eine L\"osung $f_0:T\to\R$, die auf $T$ keine Nullstellen hat; nennen wir sie $f_1:T\to\R$.

Wir ersetzen $f(t)$ durch $f_1(t)g(t)$ und berechnen eine Differentialgleichung f\"ur $g:T\to\R$. Nach Anwenden der
Prouktregel und Ausmultiplizieren aller Klammern werden alle Terme weggek\"urzt, in denen $g$ nicht abgeleitet
wird. Das Ergebnis ist eine linear Differentialgleichung der Ordnung $k-1$ f\"ur $g':T\to\R$. Wir f\"uhren die
Rechnung durch f\"ur den Fall $k=2$:

\[ 0 = (f_1g)''+a_1(f_1g_1)'+a_0f_1g_1 = (f_1g'+f_1'g)'+a_1f_1g'+a_1f_1'g_1+a_0f_1g = \]
\[ = f_1g''+2f_1'g'+f_1''g+a_1f_1g'+a_1f_1'g_1+a_0f_1g = (f_1''+a_1f_1'+a_0f_1)g+ f_1g''+2f_1'g'+a_1f_1g' = \]
\[ = f_1g''+2f_1'g'+a_1f_1g' . \]
Nachdem $f_1$ keine Nullstellen hat, darf man mit $\frac{1}{f_1}$ multipliziern und hat eine linear DIfferentialgleichung
erster Ordnung, bei der man wie schon erw\"ahnt TdV anwenden kann.
Wenn man die allgemeine L\"osung $g$ gefunden hat, muss man sie noch integrieren und dann mit $f_1$ multiplizieren.

\medskip

Auch wenn man keine L\"osung kennt, kann man die Ordnung reduzieren, allerdings erh\"alt man dann eine
nichtlineare Differentialgleichung. Wir nehmen an, es existiert eine L\"osung $f$ ohne Nullstellen, und
erstellen eine Differentialgleichung f\"ur $g:T\to\R$, $g=\frac{f}{f'}$. Wenn wir $g$ gefunden haben, kann $f$
durch TdV gefunden werden.

Zum Auffinden der Gleichung f\"ur $g$ schreiben wir die Ableitungen von $f$ in der Form $f$ mal einem Ausdruck
in $g$ und seinen Ableitungen:
\[ f = f\cdot 1 \]
\[ f' = f\cdot g \]
\[ f'' = f'g+fg' = fg^2+fg' = f\cdot(g^2+g') \]
\[ f''' = (f\cdot(g^2+g'))' = f'(g^2+g')+f(g^2+g')' = fg(g^3+g')+f(2gg'+g'') = f\cdot(g^3+g''+3gg') \]
usw.. Dann ersetzt man in Gleichung~(\ref{eq:l}) alle Ableitungen von $f$ durch die rechten Seiten der
Gleichungen oben, hebt $f$ heraus und hat die Gleichung f\"ur $g$. Im Fall $k=2$ lautet das Ergebnis
\[ g'+g^2+a_1g+a_0 = 0 \]
(Riccati-Differentialgleichung). Weil die R\"uckf\"uhrung auch umgekehrt funktioniert, kann man auch
eine gegebene Riccati-Differentialgleichung auf eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
reduzieren, hoffend dass man eine L\"osung err\"at und damit auf eine lineare Differentialgleichung
erster Ordnung reduzieren und TdV anwenden kann.

\subsection{Variation der Konstanten}

Die Methode der Variation der Konstanten gibts in zwei Variationen, f\"ur vektorwertige erster Ordnung und f\"ur
skalare beliebiger Ordnung. Sie dient zur L\"osung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung unter der Annahme,
dass man die allgemeine L\"osung der dazugeh\"origen homogenen Gleichung schon kennt. Im skalaren Fall f\"ur Ordnung~1
kann man bekanntlich die homogene Gleichung mit TdV l\"osen, also hat man durch Teamwork von TdV und VdK ein allgemeines
L\"osungsverfahren f\"ur inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Auch f\"ur autonome Differentialgleichungen
werden wir L\"osungsverfahren f\"ur den homogenen Fall angeben, und daher sind auch alle inhomogenen Differentialgleichungen
l\"osbar, bei denen der lineare Anteil nicht von $t$ abh\"angt.

Der vektorwertige Fall ist einfacher zu erkl\"aren, darum fangen wir damit an. 
Es sei $T\subset\R$ ein reelles Intervall, $n\in\N$.
Es sei $A:T\to\R^{n\times n}$ eine matrix-wertige stetige Funktion und $b:T\to\R^n$ eine vektorwertige Funktion.
Wir l\"osen die inhomogene Differentialgleichung f\"ur $f:T\to\R^n$
\[ \forall t\in T: f'(t)-A(t)f(t) = b(t) \]
unter der Annahme, dass wir das Anfangswertproblem der homogenene Gleichug f"ur $g:T\to\R^n$
\[ \forall t: g'(t) - A(t)g(t) = 0 \]
f\"ur jeden Anfangswert bei der Anfangssstelle $t_0\in\R$
l\"osen k\"onnen.
Die Annahme ist equivalent zu der, dass wir eine Matrix $B$ kennen, die die Matrix-Differentialgleichung
\[ \forall t: B'(t) = A(t)B(t) \]
und die Anfangsbedingung $B(t_0)=I_n$ erf\"ullt; die Matrix $B(t)$ ist jene lineare Abbildung, die jedem Anfanswert $v_0\in\R^n$
den Funktionswert $g(t)$ der L\"osung zuordnet. 

Alles das setzt nat\"urlich voraus, dass das Anfangswertproblem eine eindeutige L\"osung hat; auch das werden wir
sp\"ater f\"ur beliebige lineare Differentialgleichungen zeigen. Eine weitere Folgerung aus diesem (sp\"ater zu zeigenden)
Satz ist, dass die Matrix $B(t)$ f\"ur alle $t\in T$ invertierbar ist. Die Inverse von $B(t_1)$ ist die Matrix
$\bar{B}(t_0)$, wobei $\bar{B}(t)$ der linearen Abbildung entspricht, die jedem Anfangswert $v_1$ bei $t_1$ 
den Wert $f(t)$ der eindeutigen L\"osung mit Anfangswert $f(t_1)=v_1$ zuordnet.

Wir ersetzen nun in der inhomogenen Gleichung $f(t)$ durch $B(t)h(t)$ und bekommen eine Differentialgleichung f\"ur 
die vektorwertige Funktion $h:T\to\R^n$:
\[ b(t) = (B(t)h(t))'-A(t)B(t)h(t) = B(t)h'(t)+B'(t)h(t)-A(t)B(t)h(t) = \]
\[ = B(t)h'(t)+(B'(t)-A(t)B(t))h(t) = B(t)h'(t) \]
\[ (B(t))^{-1}b(t) = h'(t) \]
Die Funktion $h$ kann man jetzt durch Integration finden. Um eine L\"osung f\"ur die Gleichung f\"ur $f$ zu finden,
muss man noch mit der Matrixfunktion $B$ multiplizieren.

\medskip
Wir wenden uns dem skalaren Fall beliebiger Ordnung zu. Es sei $T\subset\R$, $k\in\N$, $a_0,dots,a_{k-1},b:T\to\R$
stetige Funktionen. Wir l\"osen die Differentialgleichung f\"ur $f:T\to\R$
\begin{equation} \label{eq:ih}
  f^{(k)}+a_{k-1}f^{(k-1)}+\dots+a_1f'+a_0f = b 
\end{equation}
(eine Gleichung von Funktionen $T\to\R$). Wir nehmen an, dass wir $k$ linear unabh\"angige L\"osungen
$g_1,\dots,g_k$ der homogenen Gleichung f\"ur $g$
\[ g^{(k)}+a_{k-1}g^{(k-1)}+\dots+a_1g'+a_0g = 0 \]
schon kennen. An dieser Stelle k\"onnten wir die Gleichung~(\ref{eq:ih}) schon auf zwei Arten l\"osen:
\begin{itemize}
\item Zur\"uckf\"uhren auf eine vektorielle Gleichung erster Ordnung und VdK.
\item Zur\"uckf\"uhren auf eine homogene lineare Gleichung der Ordnung $k+1$, dann $k$ mal Reduktion der Ordnung
	mit den bekannten L\"osungen bis auf eine lineare Gleichung erster Ordnung, dann TdV.
\end{itemize}
Im ersten Fall hat man eine matrixwertige Funktion zu invertieren. Im wesentlichen l\"auft es darauf hinaus,
ein $k\times k$ Gleichungssystem f\"ur unbekannte Funktionen zu l\"osen. Was wir jetzt machen, ist, dieses Gleichungssystem
ohne Umwege hinzuschreiben.

Wir suchen Funktionen $h_1,\dots,h_k:T\to\R$, sodass deren Ableitungen $h_1',\dots,h_k'$ die folgenden Gleichungen
erf\"ullen:
\[ g_1h_1'+\dots+g_kh_k' = 0 \]
\[ g_1'h_1'+\dots+g_k'h_k' = 0 \]
\[ g_1''h_1'+\dots+g_k''h_k' = 0 \]
\[ \dots \]
\[ g_1^{(k-2)}h_1'+\dots+g_k^{(k-2)}h_k' = 0 \]
\[ g_1^{(k-1)}h_1'+\dots+g_k^{(k-1)}h_k' = b \]
Die Matrix, die der linken Seite dieses Gleichungssystems entspricht, ist genau die Matrix $B$ (eigentlich: matrixwertige
Funktion) in der vektorwertigen Differentialgleichung, auf die man die Gleichung~(\ref{eq:ih}) reduzieren kann.
Deshalb ist die Matrix auch f\"ur alle $t\in T$ invertierbar, und das Gleichungssystem kann nach $h_1',\dots,h_k'$
aufgel\"ost werden. Die Funktionen $h_1,\dots,h_k$ k\"onnen nun durch Integration gefunden werden.

Das Gleichungssystem ist nun gerade so gew\"ahlt, dass folgendes gilt. Es sei $f:=g_1h_1+\dots+g_kh_k$.
Dann ist
\[ f= g_1h_1+\dots+g_kh_k \]
\[ f'= g_1'h_1+\dots+g_k'h_k \]
\[ f''= g_1''h_1+\dots+g_k''h_k \]
\[ \dots \]
\[ f^{(k-2)}= g_1^{(k-2)}h_1+\dots+g_k^{(k-2)}h_k\]
\[ f^{(k-1)}= g_1^{(k-1)}h_1+\dots+g_k^{(k-1)}h_k + b\]
Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $a_0$, die zweite mit $a_1$ usw. (letzte Zeile mit 1) und summieren alles auf. 
Das Ergebnis ist -- nach einigen Umformungen unter Verwendung der Annahme, dass $g_1,\dots,g_k$ die homogene
Gleichung l\"osen -- gleich $b$. Also erf\"ullt $f$ die Differentialgleichung.

\medskip

{\bf Bernoulli-Differentialgleichung.}
Es ei $T\subset\R$, $a,b:T\to\R$ stetige Funktionen, $\alpha\in\N$.  Die Differentialgleichung f\"ur $f:T\to\R^\ast$
\[ \forall t: f'(t)+a(t)f(t)+b(t)f(t)^n \]
ist f\"ur $n\ne 0,1$ zwar nicht linear, aber sie l\"a{\ss}t sich durch die Substitution $f(t)=g(t)^{\frac{1}{1-n}}$ 
auf eine lineare Göeichung f\"ur $g$ zur\"uckf\"uhren:
\[ 0 = \left( g^{\frac{1}{1-n}} \right)' + ag^{\frac{1}{1-n}} + bg^{\frac{n}{1-n}} =
     \frac{1}{1-n} g^{\frac{n}{1-n}}g' + agg^{\frac{n}{1-n}} + bg^{\frac{n}{1-n}} \]
Nach Herausheben von $g^{\frac{n}{1-n}}$ erh\"alt man die inhomogene lineare Differentialgleichung f\"ur $g$
\[ \frac{1}{1-n}g'+ag+b = 0 . \]
Diese kann man mit VdK und TdV l\"osen. Wenn man $g$ hat, dann kriegt man $f$ durch die obige Substitution.

\medskip

{\bf Symbolische Methoden im diskreten Fall.}
Die Frage der L\"osbarkeit mit symbolischen Methoden macht auch f\"ur Rekursionen Sinn. Wir werden zum Beispiel
im n\"achsten Abschnitt eine symbolische L\"osung f\"ur lineare autonome Rekursionen angeben. F\"ur nicht-autonome
oder nichtlineare Rekursionen gibt es viele Resultate, aber auch offene Fragen. F\"uhrende Experten auf diesem
Gebiet arbeiten auf der JKU (Kauers, Paule, Schneider, Koutschan).

\subsection{Unl\"osbarkeitsresultate} 

F\"ur lineare Differemtialgleichungen gibt es die {\em Picard-Vessiot-Theorie}, die \"ahnlich funktioniert wie
die Galois-Theorie in der Algebra. F\"ur eine gegebene Gleichung kann man im Prinzip entscheiden, ob sich die
allgemeine L\"osung als intelementare Funktion schreiben l\"a{\ss}t; anders ausgedr\"uckt, ob sich die L\"osung
zur\"uckf\"uhren l\"a{\ss}t auf Integration, Logarithmus, und Exponentialfunktion. ``Im Prinzip'' deshalb, weil
der Algorithmus f\"ur Ordnung gr\"o{\ss}er als 2 ziemlich kompliziert und rechenaufw\"andig ist; es gibt auch
keine vollst\"andige Implementierung. 

Auf jeden Fall wei{\ss} man von einigen Differentialgleichungen, dass die allgemeine L\"osung nicht intelementar ist.
Die einfachsten sind die Airy-Differentialgleichung f\"ur $a:\R\to\R$
\[ \forall t: a''(t) - t a(t) = 0 \]
und die Besselsche Differentialgleichung f\"ur $b:(0,\infty)\to\R$
\[ \forall t: t^2b''(t)+ tb'(t)+(t^2-\lambda^2)b(t) = 0 , \]
wobei $\lambda$ ein reeller Parameter ist, sodass $\lambda-\frac{1}{2}$ nicht ganzzahlig ist. Falls $\lambda-\frac{1}{2}$
ganzzahlig ist, ist die L\"osung sogar elementar.

F\"ur allgemeine (nichtlineare) Differentialgleichungen gibt es keine vergleichbare Theorie; wenn es nicht gelingt,
die Gleichung zu l\"osen oder auf eine lineare Gleichung zur\"uckzuf\"uhren, dann hat man keine M\"oglichkeit,
festzustellen, ob die L\"osung intelementar ist oder nicht.

\section{Lineare Autonome Rekursionen}

Hier ist $T=\N$, $X=\R^n$ f\"ur ein $n\in\N$, $A\in\R^{n\times n}$ eine Matrix, und die Rekursion f\"ur $f:T\to X$
ist $f(t+1)=Af(t)$. Die allgemeine L\"osung ist $f(t)=A^tv$ mit einem beliebigen Anfangswert $v=f(0)$. Wir interessieren
und f\"ur das Verhalten von $f$ f\"ur grosse $t$.

Was im kontinuierlichen Fall die Equilibrien sind, sind im diskreten Fall die Fixpunkte -- im linearen Fallen der Nullvektor und die Eigenvektoren zu $1$, die zu konstanten Folgen f\"ühren. F\"ur andere Eigenwerte bekommen wir Zyklen,
d.h., periodische L\"osungsfunktionen.
Die Definition von Stabilit\"at und asymptotischer Stabilit\"at sind die gleichen wie in Definition~\ref{def:stabil}
und in Definition~\ref{def:astabil}, man braucht nur das Wort ``Equilibrium'' durch das Wort ``Fixpunkt'' ersetzen.

Sei $k\in\N$, $k>1$. Ein $k$-Zyklus der Rekursion oben ist eine L\"osung $f$, die f\"ur alle $t\in T$ die
Gleichung $f(t+k)=f(t)$ erf\"ullt.
Wir k\"onnen die Begriffe Stabilit\"at und asymptotische Stabilit\"at auch auf $k$-Zyklen erweitern. Dazu verwenden
wir die Tatsache, dass die $k$-Zyklen den Fixpunkten der Rekursion f\"ur $g:T\o X$, $g(t+1)=A^k g(t)$ entsprechen.
Ein (asymptotisch) stabiler $k$-Zyklus entspricht einem (asymptotisch) stabiler Fixpunkt von $A^k$.

\medskip

Es sei $n\in\N$. Ein $n$-Eck ist gegeben durch eine Folge von $n$ Punkten $(p_1,\dots,p_n)\in(\R^2)^n$. F\"ur jedes
$n$-Eck k\"onnen wir ein zweites $n$-Eck durch die Vorschrift ''ersetze jeden Punkt durch den Mittelpunkt seiner Nachbarpunkte''
definiieren. Diese Vorschrift definiert eine Abbildung
\[ F:(R^2)^n \to (\R^2)^n, \ (p_1,\dots,p_n) \mapsto 
	\left(\frac{p_n+p_2}{2},\frac{p_1+p_3}{2},\dots,\frac{p_{n-1}+p_1}{2}\right) . \]
Die Abbildung ist offensichtlich linear und entspricht einer Blockmatrix aus $n\times n$ Bl\"ocken vom Format $2\times 2$,
und zwar
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}I_2 & \dots & \frac{1}{2}I_2 \\
               \frac{1}{2}I_2 & 0 & \dots & 0 \\
               \cdot & \cdot & \dots & \cdot \\
               \frac{1}{2}I_2 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix} \]
Wir iterieren die Abbildung und beobachten, was mit dem $n$-Eck passiert. Dazu verwenden wir
das Programm \url{http:www.risc.jku.at/jschicho/dg/ngon.py}.

\medskip

{\bf n=3.} Eine Iteration liefert ein \"ahnliches Dreieck mit halber Seitenl\"ange, das auf den
Kopf gestellt ist. Iterieren wir die Abbildung, so werden die Dreiecke immer kleiner und konvergieren
gegen den Schwerpunkt.

Die Eigenwerte sind $+1$ mit Vielfachheit $2$ und $\frac{-1}{2}$ mit Vielfachheit $4$. Der dominierende
Eigenwert ist $+1$, drum wird bei fortgesetzter Iteration die Dreiecke auf den Eigenraum zu $+1$
projiziert. Der ist gegeben durch $p_1=p_2=p_3$, und die Projektion auf diesen Eigenraum ist das
entartete Dreoeck, bei dem alle 3 Punkte im Schwerpunkt zusammenfallen. Diese entarteten Dreeicke sind
Fixpunkte; sie sind stabil, aber nicht asymptotisch stabil.

Der Eigenraum zu $\frac{-1}{2}$ ist die Menge aller Dreiecke mit Schwerpunkt $(0,0)$. Das ist der
Grund f\"ur die Beobachtung, dass die Dreiecke bei jedem Schritt auf die H\"alfte verkleinert und
auf den Kopf gestellt word.

\medskip

{\bf n=4.} Die erste Iteration liefert ein entartetes Viereck mit $p_1=p_3$ und $p_2=p_4$. Ab der
zweiten passiert nichts mehr, scheinbar ist eine konstante Folge erreicht worden. Im Programm wird
allerdings nicht gezeigt, dass die Punkte vertauscht werden, das hei{\ss}t, in Wahrheit haben wir einen
2-Zyklus $(p_1,p_2,p_1,p_2),(p_2,p_1,p_2,p_1)$. Dieser 2-Zyklus ist stabil, aber nicht asymptotisch stabil.

Die Matrix hat die Eigenwerte $1$ (Vielfachheit 2), $0$ (Vielfachheit 4), und $-1$ (Vielfachheit $2$).
Der Eigenraum zum Eigenwert $0$ wird nach einer Iteration gleich wegprojiziert. Die Summe der beiden
anderen Teilr\"aume ist genau die Menge aller Vierecke mit $p_1=p_3$ und $p_2=p_4$. Zweimalige Anwendung
der Abbildung, eingeschr\"ankt auf diese Menge, ist die Identit\"at, darum der 2-Zyklus.

\medskip

{\bf n=5.} Die Matrix hat wieder den Eigenwert $1$ mit Vielfacheit $2$ (das gilt \"ubrigens f\"ur alle $n$).
Der Eigenraum ist wie beim Dreieck die Menge aller F\"unfecke, bei denen alle f\"unf Punkte zusammenfallen.

Wir beschr\"anken uns auf den Orthogonalraum, also der Menge aller F\"unfecke mit Schwerpunkt $(0,0)$.
Es gibt zwei Eigenwerte, n\"amlich $\lambda_1:=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\approxeq 0.3$ und 
$\lambda_2:=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}\approxeq -0.8$, beide mit Vielfachhait $4$. Der Eigenraum zu $\lambda_1$
ist die Menge aller affinen Bilder eines regelm\"a{\ss}igen F\"unfecks. Der Eigenraum zu $\lambda_2$ ist
das affine Bild einer anderen Figur, die man leicht sehen kann, wenn man die Abbildung oft genug iteriert
und ab und zu vergr\"o{\ss}ert: weil dieser Eigenwert betragsm\"a{\ss}ig der gr\"ossere ist, setzt sich
diese Figur immer mehr durch. Weil $\lambda_2<0$ ist, wird die Figur bei jeder Iteration auf den Kopf gestellt.

\medskip

Es ist klar, dass das asymptotische Verhalten von $A^t$, $t\in\N$, von den Eigenwerten von $A$ abh\"angt.
Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass sich $A$ schreiben l\"asst als $A=BJB^{-1}$, wobei $B$ invertierbar
und $A$ eine Jordan-Normalform ist. F\"ur alle $t$ gilt
\[ A^t = (BJB^{-1})^t = BJB^{-1}BJB^{-1}BJ\dots JB^{-1} = BJ^tB^{-1} , \]
also gen\"ugt es, dass asymptotische Verhalten von Jordan-Normalformen zu untersuchen. 
Sieht man sich die Formeln f\"ur die Potenzen von Jordan-Bl\"ocken an, so sieht man, dass alle 
Eintr\"age von der Form ${t \choose k}\lambda^{t-k}$ sind (sofern sie nicht Null sind), wobei $\lambda$
der Eigenwert in der Diagonale des Blocks ist, und $k$ eine nat\"urliche Zahl ist, die kleiner als die Gr\"o{\ss}e des
Blocks. Dieser Term konvergiert f\"ur $|\lambda|<1$ gegen $0$; f\"ur $|\lambda|=1$ und $k=0$ ist der Term beschr\"ankt;
in allen anderen Fallen ist der Term unbeschr\"ankt.

F\"ur die Potenzen der Matrizen sind daher die folgenden F\"alle m\"oglich. 

\begin{itemize}
\item Alle Eigenwerte haben Betrag kleiner als $1$. Dann gilt $\lim_{t\to\infty}A^t=\zero$.
\item Alle Eigenwerte haben Betrag kleiner oder gleich $1$, und die Jordan-Bl\"ocke, die
	zu den Eigenwerten mit Betrag $1$ geh\"oren, sind 1-Bl\"ocke. Dann ist die Folge
	der Matrizen $(A^t)_{t\in\N\}}$ beschr\"ankt. 
\item In allen anderen F\"allen ist die Folge $(A^t)_{t\in\N\}}$ unbeschr\"ankt.
\end{itemize}

\begin{thm} \label{thm:dlim}
a) Wenn die Folge $(A^t)_{t\in\N}$ gegen $0$ konvergiert, dann ist der Nullvektor ein asymptotisch stabiler Fixpunkt.

b) Wenn die Folge $(A^t)_{t\in\N}$ beschr\"ankt ist, dann ist der Nullvektor ein stabiler Fixpunkt.

c) Wenn die Folge $(A^t)_{t\in\N}$ unbeschr\"ankt ist, dann ist der Nullvektor nicht stabil.
\end{thm}

\begin{proof}[Beweis]
In allen 3 F\"allen verwenden wir die Formel $f(t)=A^tv_0$ f\"ur die L\"osung $f$ der Rekursion $\forall t:f(t+1)=Af(t)$.

b) Wenn die Folge der Matrixpotenzen beschr\"ankt ist, dann ist auch $K:=\{ A^tv\mid t\in\N, ||v||<1 \}$ beschr\"ankt. 
Es sei $R$ eine obere Schranke f\"ur den Maximalbetrag von Elementen in $K$. Multiplikation mit beliebigen Potenzen
von Faktoren kann den Betrag eines Vektors h\"ochstens ver-$R$-fachen.
Es sei $U$ eine offene Umgebung von $\zero$. Dann suchen wir und eine Kugel von Radius $\epsilon>0$, die in $U$
enthalten ist, und w\"ahlen $V$ als Einheitskugel von Radius $\frac{\epsilon}{R}$. Jede Folge mit Startwert in $U$
bleibt dann in $V$.

a) Wenn $\lim_{t\to\infty}A^t=\zero$ gilt, dann ist $\lim_{t\to\infty}f(t)=0$ unabh\"angig vom Startwert $v_0$.
Das zeigt den Zusatz ``asymptotisch''.

c) Angenommen, der Nullvektor sei stabil. Wir w\"ahlen $U:=\{v\mid ||v||<1\}$. Wegen der Stabilit\"at existiert eine
offene Umgebung $V$ von $\zero$, sodass L\"osungen mit Startwert in $V$ immer in $U$ bleiben. Es sei $\epsilon$ der
Radius einer Kugel mit Mittelpunkt $\zero$, die in $V$ enthalten ist. Dann kann Multiplikation mit beliebigen Matrizen
den Betrag eines Vektors h\"ochstens mit dem Faktor $\frac{1}{\epsilon}$ multiplizieren. Daraus folgt, dass die
Folge der Potenzen von $A$ beschr\"ankt ist bez\"uglich der Norm 
\[ M \mapsto ||M||_{op} := \sup_{v, ||v||<1} ||Mv|| . \]
Daraus folgt, dass $f$ beschr\"ankt ist durch diese Schranke $\frac{1}{\epsilon}$ mal der Norm von $v_0$.
\end{proof}

Wir wenden uns dem skalaren Fall h\"oherer Ordnung zu: gegeben sind $k\in\N$, $a_0,a_1,\dots,a_{k-1}\in\R$.
Gesucht ist eine Folge $f:\N\to\R$, die die Rekursion
\begin{equation} \label{eq:rhigh}
\forall t: f(t+k)+a_{k-1}f(t+k-1)+\dots+a_1f(t+1)+a_0f(t) = 0
\end{equation}
erf\"ullen. Die Funktion ist durch $k$ Anfamswerte $f(0),\dots,f((k-1)$ eindeutig bestimmt.
Ein klassisches Beispiel ist die Fibonacci-Rekursion $k=2$, $a_1=a_0=-1$. Die L\"osung mit Anfangswerten
$f(0)=0,f(1)=1$ ist die Fibonacci-Folge $(0,1,1,2,3,5,8,13,21,\dots)$.

Um das asymptotische Verhalten zu untersuchen (und nebenbei auch eine geschlossene L\"osungsformel f\"ur die
Rekursion zu finden), reduzieren wir auf den vektoriellen Fall erster Ordnung und erhalten die folgende Rekursion
f\"ur $g:\N\to\R^k$
\begin{equation} \label{eq:rvec}
\forall t: g(t+1) = Ag(t), A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & \dots & 0 \\
                                               0 & 0 & \dots & 0 \\
                                               \cdot & \cdot & \dots & \cdot \\
                                               0 & 0 & \dots & 1 \\
                                               -a_0 & -a_1 & \dots & -a_0 \end{pmatrix} 
\end{equation}
Die Matrix $A$ ist die Begleitmatrix des Polynoms $X^k+a_{k-1}X^{k-1}+\dots+a_1X+a_0\in\R[X]$. Dieses Polynom
hei{\ss}t auch das ``charakteristische Polynom der Rekursion~(\ref{eq:rhigh})''.

Wir werden ein wenig sp\"ater zeigen, dass das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom der
Begleitmatrix mit dem charakteristischen Polynom der Rekursion \"ubereinstimmen. Aus der Gleichheit von
Minimalpolynom und charakteristischem Polynom folgt, dass alle Jordan-Bl\"ocke maximale Gr\"osse haben,
oder equivalent dazu dass alle Eigenr\"aume eindimensional sind.

Um die Jordan-Normalform verwenden zu k\"onnen, lassen wir auch komplexe L\"osungen zu, also Funktionen
von $\N$ nach $\C$.

Der L\"osungsraum der Rekursion~(\ref{eq:rhigh}) wird von den Eintr\"agen der ersten Zeile in der
der matrixwertigen Funktion $t\mapsto A^k$ erzeugt. Diese sind wieder erzeugt von den Eintr\"agen der
matrixwertigen Funktion $t\mapsto J^k$, wobei $J$ eine Jordan-Normalform von $A$ ist. Diese Eintr\"age
kennen wir bereits: ein Eigenwert $\lambda\ne 0$ von Vielfachheit $m$ f\"uhrt zu Eintr\"agen 
$t\mapsto {t\choose i}\lambda^{t-i}$, $i=0,\dots,m-1$. 
Im Fall $\lambda=0$ ist $\lambda^{t-i}$ f\"ur $t\le i$ nicht definiert. Wenn $0$ ein $m$-facher Eigenwert
ist, dann nimmt man die Funktionen $\delta_0,\dots,\delta_{m-1}$, wobei $\delta_i(j)$ gleich $1$ f\"ur $i=1$
und $0$ sonst ist.
Insgesamt sind das nicht mehr als $k$ Funktionen, also genau die Dimension des erzeugten Vektorraums. 
Daher sind sie linear unabh\"angig und bilden eine Basis f\"ur den L\"osungsraum.

\begin{example}
Das charakteristische Polynom der Fibonacci-Rekursion ist $X^2-X-1$, mit den Nullstellen $\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.62$
und $\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.62$. Die allgemeine L\"osung der Rekursion ist
\[ f(t) = c_1\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^t + c_2\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^t ,\ c_1,c_2\in\R .\]
Mit den Anfangswerten $f(0)=0$ und $f(1)=1$ bekommt man $c_1=\frac{\sqrt{5}}{5},c_2=-\frac{\sqrt{5}}{5}$.

F\"ur gro{\ss}e $t$ wird der zweite Summand sehr klein. Da die Fibonacci-Zahlen ganzzahlig sind, liegt der erste
Summand sehr nahe bei einer ganzen Zahl.
\end{example}

Im obigen Beispiel sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms reell. 
Wenn die Nullstellen nicht reell sind, dann sind die Basisl\"osungen
oben auch nicht reellwertig, sondern komplexwertig. Es tritt aber zu jeder nichtreellen Nullstelle auch die
konjugiert komplexe Zahl als Nullstelle mit der gleichen Vielfachheit auf. 
Damit hat man zu jeder nichtreellwertigen Basisl\"osung $g$
eine konjugiert komplexe Basisl\"osung $\bar{g}$. Durch komplexe Linearkombination 
\[ h_1=\frac{g+\bar{g}}{2}, h_2 = \frac{g-\bar{g}}{2\ci} \]
kann man zwei reelle L\"osungen finden, die den gleichen Vektorraum wie $g,\bar{g}$ erzeugen. Wenn man das f\"ur
alle nichtreellen Basisl\"osungen macht, kann man dadurch eine Basis von reellwertigen L\"osungen erzeugen.

\begin{example}
Die Rekursion f\"ur $f:\N\to\R$
\[ \forall t: g(t+2)+g(t+1)+g(t) = 0 \]
hat das charakteristische Polynom $X^2+X+1$ mit den Eigenwerten $\frac{-1+\ci\sqrt{3}}{2}=\cos(2\pi/3)+\ci\sin(2\pi/3)$ 
und $\frac{-1-\ci\sqrt{3}}{2}=\cos(2\pi/3)-\ci\sin(2\pi/3)$.
Die komplexwertigen Basisl\"osungen sind
\[ f_1(t) = (\cos(2\pi/3)+\ci\sin(2\pi/3)^t = \cos(2t\pi/3)+\ci\sin(2t\pi/3), \] 
\[ f_2(t) = (\cos(2\pi/3)-\ci\sin(2\pi/3)^t = \cos(2t\pi/3)-\ci\sin(2t\pi/3). \]
(Hier haben wir die Formeln von De Moivre f\"ur die Potenten von komplexen Zahlen verwendet.)
Als reelle Basisfunktionen findet man daher $f_3(t)=\cos(2t\pi/3)$ und $f_4(t)=\sin(2t\pi/3)$. Die allgemeine
reellwertige L\"osung ist daher
\[ f(t) = c_1 \cos(2t\pi/3) + c_2 \sin(2t\pi/3) . \]
\end{example}

Beim asymptotischen Verhalten von Folgen, die durch lineare autonome Rekursionen definiert werden, 
k\"onnen wir folgende M\"oglichkeiten feststellen.

\begin{itemize}
\item Wenn alle Eigenwerte Betrag kleiner als 1 haben, dann konvergiert jede L\"osungsfolge gegen $0$, und $0$
	ist ein asymptotisch stabiler Fixpunkt.
\item Wenn alle Eigenwerte Betrag kleiner gleich 1 haben und wenn alle Eigenwerte mit Betrag 1 einfach sind,
	dann ist jede L\"osung beschr\"ankt. $0$ ist ein stabiler Fixpunkt.
\item Wenn ein Eigenwert Betrag gr\"osser als 1 hat oder wenn ein Eigenwert mit Betrag 1 und Vielfachheit
	gr\"o{\ss}er als 1 existiert, dann gibt es unbeschr\"anke L\"osungen. $0$ ist instabiler Fixpunkt.
	Die L\"osungen wachsen aber h\"ochstens exponential, d.h., es existieren Konstanten $C,Q\in\R$,
	sodass $\forall t: f(t)<CQ^t$ gilt.
\end{itemize}

Zum Beweis reduziert man auf den vektorwertigen Fall erster Ordung und verwendet Satz~(\ref{thm:dlim}) sowie
die Tatsache, dass die Gr\"o{\ss}e der Jordan-Bl\"ocke von Begleitmatrizen gleich der Vielfachheit des
zugeh\"origen Eigenwerts ist.

Erw\"ahnt sei noch eine Deutung des charakteristischen Polynoms, die wir im n\"achsten Kapitel brauchen werden.
Es sei ${\cal F}$ die Menge aller Funktionen $\N\to\R$ (bzw. aller Folgen in $\R$), die h\"ochstens 
exponentiell wachsen. Diese Menge bildet mit gliedweiser Addition und Skalarmultiplikation einen $\R$-Vektorraum.
Die Funktion
\[ S: {\cal F}\to {\cal F},\ f\mapsto (t\mapsto f(t+1) ) \]
hei{\ss}t Shift-Operator: sie schmei{\ss}t das erste Folgenglied weg, und alle anderen r\"ucken um 1 nach.
Sei nun $P\in\R[X]$ ein normiertes Polynom vom Grad $k$, $P=a_0+a_1X+\dots+a_{k-1}X^{k-1}+X^k$. 
Wir defininieren den linearen Operator 
\[ P(S): S: {\cal F}\to {\cal F}, f \mapsto a_0f+a_1S(f)+\dots +a_{k-1} S^{k-1}(f)+S^k(f) . \]
Die linke Seite der Rekursion~(\ref{eq:rhigh}) ist gleich dem $t$-ten Glied der Folge $P(S)(f)$, und $f:\N\to\R$
ist genau dann eine L\"osung wenn sie im Kern von $P(S)$ ist. Das charakteristische Polynom einer Rekursion
liefert also genau jenes Polynom, in das man den Shift-Operator einsetzen muss, um die linke Seite der
Rekursionsgleichung zu erhalten.

\begin{thm}
Das charakteristische Polynom der Rekursion~(\ref{eq:rhigh}) ist gleichzeitig das Minimalpolynom und das
charakteristische Polynom der Matrix $A$ in der Rekursion~(\ref{eq:rvec}). 
\end{thm}

\begin{proof}[Beweis]
Es sei $f\in{\cal F}$. Wir definieren die Prolongation
$\rho(f)$ als das $k$-Tupel $(f,S(f),S^2(f),\dots,S^{k-1}(f))\in {\cal F}^k$. Die Matrix $A$ erf\"ullt die Gleichung
$A\cdot\rho(f)=S(f)$ genau dann, wenn $f$ eine L\"osung der Rekursioon ~(\ref{eq:rhigh}) ist 
(wir haben die Matrix gerade so definiert, sodass diese beiden Rekursionen equivalent sind).

Es sei $P\in\R[X]$ das Minimalpolynom der Matrix $A$. Dann gilt f\"ur jede L\"osung $f$ der Rekursion
\[ \zero = P(A)\cdot \rho(f) = P(S)(\rho(f)) . \]
Wenn wir von dieser vektoriellen Gleichung nur den ersten Eintrag nehmen, erhalten wir $Q(S)(f)=0$. Mit anderen
Worten: die L\"osungen der Rekursion~(\ref{eq:rhigh}) erf\"ullen alle die Rekursion, deren charakteristisches
Polynom gleich $P$ ist. Der Menge aller L\"osungen von (\ref{eq:rhigh}) ist aber ein Vektorraum der Dinmension $k$
und kann daher keine Rekursion von kleinerer Ordnung erf\"ullen. Die Rekursion der Ordnung $k$ ist ausserdem
eindeutig, und es folgt, dass $P$ das charakteristische Polynom der Rekursion ist.

Weil die Matrix $A$ eine $k\times k$-Matrix ist, und das Minimalpolynom $P$ Grad $k$ hat, ist $P$ auch das 
charakteristische Polynom der Matrix $A$.
\end{proof}

\section{Lineare Autonome Differentialgleichungen}

Zur Abwechslung beginnen wir mit dem skalaren Fall h\"oherer Ordnung. Gegeben sind $k\in\N$,
$a_0,\dots,a_{k-1}\in\R$. Gesucht ist $f:\R\to\R$, sodass
\begin{equation} \label{eq:dhigh}
\forall t: f^{(k)}(t)+a_{k-1}f^{(k-1)}(t)+\dots+a_1f'(t)+a_0f(t)=0
\end{equation}
gilt. Beim Anfangswertproblem (AWP) gegeben wir noch zus\"atzlich numerische Werte von 
$f(0)$, $f'(0)$, $\dots$, $f^{(k-1)}(0)$ vor. Das charakteristische Polynom der Differentialgleichung~(\ref{eq:dhigh})
ist das Polynom $X^k+a_{k-1}X^{k-1}+\dots+a_1X+a_0$.

\begin{example}
Es sei $a\ge 0$ und $b>0$. Die Gleichung f\"ur $f:\R\to\R$
\[ \forall t: f''(t)+af'(t)+bf(t) = 0 \]
hei{\ss}t {\em Schiwingungsgleichung}. Sie beschreibt die Schwingung eines Federpendels oder die die Dynamik
eines elektrischen Schwingkreises bestehend aus einem Kondensator, einer Spule und einem Widerstand.

Das charakteristische Polynom ist $X^2+aX+b$. 
\end{example}

\"Ahnlich wie im diskreten Fall definieren wir die Menge ${\cal D}$ aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen
von $\R$ nach $\R$, der bez\"uglich punktweiser Addition und Skalarmultiplikation ein reeller Vektorraum ist.
Der Operator $D:{\cal D}\to{\cal D}$ ist definiert als die Ableitung. Wie im diskreten Fall k\"onnen wir dann
die Differentialgleichung auch schreiben als 
\[ P(D)(f) = 0 ,\]
wobei die Null auf der rechten Seite die Nullfunktion ist und $P$ das charakteristische Polynom ist.

Mit der Methode des Potemzreihenansatzes werden wir eine L\"osung des AWPs konstruieren und zeigen,
dass es keine andere L\"osung geben kann, die an der Stelle $0$ {\em analytisch} ist. Eine Funktion hei{\ss}t 
an einer Stelle analytisch, wenn sie dort beliebig oft differenzoerbar ist, wenn der Konvergenzradius der Taylorreihe
positiv ist, und wenn die Funktion innerhalb des Konvergenzintervalls mit der Taylorreihe \"ubereinstimmt.

Wenn $f:\R\to\R$ eine differenzierbare Funktion ist, die an der Stelle $0$ analytisch ist, wollen wir mit
$\tay(f)$ die Folge $(f^{r})_{r\in\N}$ der Ableitungen bei $0$ bezeichnen. Man kann zeigen, dass $\tay(f)$ in
${\cal F}$ ist (\"Ubung).
Wenn umgekehrt $c=(c_r)_{r\in\N}$ eine Folge in ${\cal F}$ ist, dann ist der Konvergenzradius der 
Potenzreihe $\sum_{r=0}^\infty c_r\frac{t^r}{r!}$ gleich $+\infty$. Wir wollen die Funktion von $\R$ nach $\R$,
die durch diese \"uberall konvergente Potenzreihe definiert ist, mit $\pow(c)$ bezeichnen.

Nach dem Satz von Taylor sind die Funktionen $\tay:{\cal D}\to{\cal F}$ und $\pow:{\cal F}\to{\cal D}$ invers
zueinander, wenn wir sie geeignet einschr\"anken: $\tau\circ\pow = \mathrm{id}_{\cal D}$ ohne Einschr\"ankung,
und wenn $f\in{\cal D}$ analytisch bei $0$ ist, gilt $\pow(\tay(f))=f$.

\begin{thm}
Es sei $k\in\N$ und $P\in\R[X]$ ein normiertes Polynom vom Grad $k$. Dann ist der Kern von $P(D)$  -- also die
Menge der L\"osungen der Differentialgleichung, deren charakteristisches Polynom glech $P$ ist -- gleich dem
$\pow$-Bild des Kerns von $P(S)$ -- also der Menge der L\"osungen der Rekursion, deren charakteristisches Polynom 
glech $P$ ist.
\end{thm}

\begin{proof}[Beweis]
Weil man Potenzreihen innerhalb des Konvergenzbereichs gliedweise differenzieren kann,  ist $\pow\circ S=D\circ\pow$. 
Durch Induktion nach $r$ zeigt man 
\[ \pow\circ S^r = \pow\circ S^{r-1}\circ S=D^{r-1}\circ\pow\circ S=D^{r-1}\circ D\circ\pow=D^r\circ\pow , \]
und wegen der Linearit\"at von $\pow$ gilt daher $\pow\circ P(S)=P(D)\circ\pow$. Sei $f\in{\cal D}$ analytisch.
Dann ist $f$ genau dann in $\ker(P(D))$, wenn $\tay(f)$ im Kern von $\pow\circ P(S)=P(D)\circ\pow$ ist; da der
kern von $\pow$ Null ist, genau dann wenn $\tay(f)$ in $\ker(P(S))$ ist.
\end{proof}

Wir berechnen die Potenzreihen von den Basisl\"osungen:
\[ \lambda\ne 0:\ \pow\left({m\choose i}\lambda^{m-i})_m\right) (t) = \sum_{m=0}^\infty \frac{{m\choose i}\lambda^{m-i}t^m}{m\!} 
  = \frac{t^ie^t}{i\!} \]
\[ \lambda=0:\ \pow\left(\delta_i\right) (t) = t^i \] 
Den konstanten Faktor $\frac{1}{i\!}$ werden wir nat\"urlich weglassen. Dann kriegen wir als Basisl\"osungen f\"ur eine
Nullstelle mit Vielfachheit $r$ die Basisl\"osungen
\[ t\mapsto e^{\lambda t},\ t\mapsto te^{\lambda t},\ \dots \ ,t\mapsto t^{r-1}e^{\lambda t} \]
unabh\"angig davon, ob $\lambda$ Null ist oder nicht. Wenn $\lambda$ nicht reell, alsi $\lambda=a+b\ci$ mit $b\ne 0$,
dann ersetzen wir die komplexen Basisl\"osungen
\[ t\mapsto t^re^{(a+b\ci)t}, \  t\mapsto t^re^{(a-b\ci)t} \]
durch die reellen L\"osungen
\[ t\mapsto t^r\frac{e^{(a+b\ci)t}+e^{(a-b\ci)t}}{2}=t^re^{at}\cos(bt), 
   t\mapsto t^r\frac{e^{(a+b\ci)t}-e^{(a-b\ci)t}}{2\ci}=t^re^{at}\sin(bt) . \]

Mit diesen Basisl\"osungen k\"onnen wir das Stabilit\"atsverhalten des Equilibriums beim Nullvektor analysieren.

\begin{thm}
Wenn die Nullstellen des charakteristischen Polynoms Realteil kleiner als $0$ haben, dann ist $0$ ein asymptotisch
stabiles Equilibrium.

Wenn die Nullstellen des charakteristischen Polynoms Realteil kleiner gleich $0$ haben und die Nullstellen mit Realteil
Null einfach sind, damm ist $0$ ein stabiles Equilibrium.

In allen anderen F\"allen ist $0$ ein instabiles Equilibrium.
\end{thm}

\begin{proof}{Beweis}
F\"ur die Basisl\"osungen gilt: die Funktion $t\mapsto t^re^{\lambda t}$ ist f\"ur $|\lambda|>1$ und f\"ur ($|\lambda|=1$
und $r\ge 1$) unbeschr\"ankt, f\"ur $|\lambda|=1$ und $r=0$ beschr\"ankt, und f\"ur $|\lambda|<1$ konvergent mit Grenzwert $0$.
Daraus folgt die Behauptung \"ahnlich wie im diskreten Fall.
\end{proof}

\subsection{Eine Alternative zu VdK}

Es sei $P\in\R[X]$ ein normiertes Polynom vom Grad $k$.
Bei der linearen inhomogenen Differentialgleichung f\"ur $f:\R\to\R$
\begin{equation} \label{eq:aih}
 \forall t: P(D)(f)(t) = b(t) , 
\end{equation}
-- wobei $b$ eine gegebene stetige Funktion von $\R$ nach $\R$ ist --,
kennen wir eine Basis des L\"osungsraums. Mit TdV k\"onnte man die Gleichung l\"osen.
Das kostet die L\"osung eines $k\times k$ Gleichungssystems mit Funktionen-Koeffizienten
und $k$ Integrale.

Wenn die rechte Seite $b$ selbst eine L\"osung einer linearen autonomen Differentialgleichung
ist, zum Beispiel $Q(D)(b)=0$ f\"ur ein Polynom $Q\in\R[X]$ vom Grad $l\in\N$, dann geht es
auch schneller. Dazu wenden wir den Operator $Q(D)$ auf beide Seiten von (\ref{eq:aih}) an
und erhalten eine homogene autonome Gleichung der Ordnung $k+l$:
\[ Q(D)P(D)(f) = (QP)(D) = \zero . \]
(Das Einsetzen von $D$ in ein Polynom ist ein Ringhomomorphismus.) Wir schreiben unsere
Basis f\"ur den Kern von $(QP)(D)$ hin. Die $k+l$ Basisfunktionen sind g\"unstigerweise so gew\"ahlt,
dass die $k$ Basisfunktionen von $P(D)$ alle enthalten sind. Diese streichen wir aus und setzen
eine allgemeine Linearkombination der $l$ \"ubrigen in die Gleichung (\ref{eq:aih}) ein. 
Durch Koeffiezientenvergleich bekommen wir ein Gleichungssystem. Wir l\"osen es und haben eine
spezielle L\"osung von (\ref{eq:aih}). Um die allgemeine L\"osung zu erhalten, addieren
wir noch eine allgemeine L\"osung des homogenen Gleichungssystems. Kostenfaktor: Ableitungen,
Koeffizientenvergleich, und L\"osung eines $l\times l$-Gleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.

Wenn die charakteristischen Polynome von $P$ und $Q$ teilerfremd sind, dann kann man sogar noch
die L\"osung des linearen Gleichungssystems einsparen und statt dessen einen erweiterten Euklidischen
Algorithmus f\"ur $P$ und $Q$ durchf\"uhren. Dieser liefert Polynome $A,B\in\R[X]$ von Grad $\deg(A)=l$
und $\deg(B)=k$, sodass $AP+BQ=1$ ist. Die L\"osung von (\ref{eq:aih}) ist dann einfach $A(D)(b)$.
Hier ist der Beweis:
\[ P(D)A(D)(b) = (PA)(D)(b) = (1-BQ)(D)(b) = b-(BQ)(D)(b) = b-B(D)Q(D)(b)= b . \]
Man beachte, dass der lineare Operator ${\cal D}\to{\cal D}$, der dem konstanten Polynom $1$ entspricht,
der Identit\"atsoperator ist.

\subsection{Die Exponentialmatrix}

Es sei $n\in\N$ und $A\in\R^{n\times n}$. Bei der Differentialgleichug f\"ur $f:\R\to\R^n$
\[ \forall t: f'(t)=Af(t) \]
f\"uhrt der Potenzreihenansatz zur Folge der Ableitungen $f^{(k)}(0)=A^tf(0)$ und damit zur analytischen L\"osung
\[ f(t) = \sum_{r=0}^\infty \frac{A^rt^r}{r!} f(0) . \]
Die matrixwertige Funktion $t\mapsto\sum_{r=0}^\infty \frac{A^rt^r}{r!}$, die zu jedem Anfangswert die Auswertung
der L\"osung an der Stelle $t$ liefert, hei{\ss}t {\em Exponentialfunktion} der Matrix $A$; der Funktionswert wird
notiert mit $e^{At}$ oder $\exp(At)$. Die folgenden Gesetze gelten f\"ur alle $A,B\in\R^{n\times n}$ und $s,t\in\R$:

\begin{enumerate}
\item $\frac{de^{At}}{dt}=Ae^{At}=e^{At}A$.
\item $e^{As}e^{At}=e^{A(s+t)}$.
\item Wenn $AB=BA$, dann ist $e^{(A+B)t}=e^{At}e^{Bt}=e^{Bt}e^{At}$.
\item Wenn $B$ invertierbar ist, dann ist $e^{BAB^{-1}t}=Be^{At}B^{-1}$.
\end{enumerate}

Die letzte Identit\"at k\"onnen wir verwenden, um die Exponentialmatrix mit der Darstellung in Jordan-Normalform
zu berechnen. F\"ur Jordan Blockmatrizen 
$J_r = \begin{pmatrix} 
   \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
   0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\
   \cdot & \cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\
   0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda 
   \end{pmatrix} \in \R^{r\times r}$ 
haben wir die Exponentialmatrix
\[ 
 e^{J_rt} = \begin{pmatrix}
   e^{\lambda t} & te^{\lambda t} & \frac{t^2}{2!}e^{\lambda t} & \cdots & \frac{t^{r-1}}{(r-1)!}e^{\lambda t}  \\
   0 & e^{\lambda t} & te^{\lambda t} & \cdots & \frac{t^{n-2}}{(r-2)!}e^{\lambda t} \\
   \cdot & \cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\
   0 & 0 & 0 & \cdots & e^{\lambda t}
   \end{pmatrix} =
  e^{\lambda t}\begin{pmatrix}
   1 & t & \frac{t^2}{2!} & \cdots & \frac{t^{r-1}}{(r-1)!}  \\
   0 & 1 & t & \cdots & \frac{t^{r-2}}{(r-2)!} \\
   \cdot & \cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\
   0 & 0 & 0 & \cdots & 1
   \end{pmatrix} . \]
Die Exponentialfunktion von Jordan-Normalformen hat man damit eine Formel (blockweise Anwendung der Formel oben). 
F\"ur beliebige Matrizen $A=BJB^{-1}$ erhalten wir $e^{At}=Be^{Jt}B^{-1}$.

F\"ur das asymptotische Verhalten spielt die Exponentialfunktion eine \"ahnliche Rolle wie die Folge der Matrixpotenzen
im diskreten Fall. Die entscheidene Eigenschaft f\"ur die Eigenwerte ist aber nicht, ob der Betrag kleiner als 1 ist,
sondern ob der Realteil kleiner als Null ist -- genau dann konvergiert die Exponentialfunktion $t\mapsto e^{\lambda t}$
gegen Null.

\begin{thm}
Wenn alle Eigenwerte von $\lambda$ negativen Realteil haben, dann ist der Nullvektor ein asymptotisch stabiles Equilibrium.

Wenn alle Eigenwerte von $\lambda$ nichtpositiven Realteil haben und wenn die Jordan-Bl\"ocke zu Eigenwerten mit Realteil Null
alle $1\times 1$-Bl\"ocke sind, dann ist der Nullvektor ein stabiles Equilibrium.

In allen anderen F\"allen ist der Nullvektor ein instabiles Equilibrium.
\end{thm}

Der Beweis ist \"ahnlich wie im diskreten Fall.

\section{Der Fundamentalsatz der Algebra}

Wir werden sp\"ater beliebige (nichtlineare) Differentialgleichungen f\"ur $f:\R\to X\subset\R^n$ 
\[ \forall t: f'(t) = F(f(t)) \]
qualitativ beschreiben, wobei $F:X\to\R^n$ eine differenzierbare Funktion ist. Die Equilibrien sind die Nullstellen von $F$. 
In der N\"ahe der Equilibrien kann man $F$ durch seine Ableitung approximieren. Ersetzt man $F$ in der Differentalgleichung
durch diese Approximation, dann erh\"alt man die linearisierte Differentialgleichung f\"ur $g:\R\to\R^n$
\[ \forall t: g'(t) = A g(t), \ A=\frac{\partial F}{\partial x}(\zero) . \]
Man h\"atte gerne, dass die L\"osungen der Linearisierungen nahe bei L\"osungen der Ausgangsgleichung sind und sich
asymptotisch gleich verhalten. Das ist nicht immer der Fall, und wir werden sp\"ater genaue Bedingungen daf\"ur angeben.

Als Vorbereitung f\"ur diese sp\"atere Untersuchung ist es notwendig, zu bestimmen, wie sich das Stabilit\"atsverhalten
\"andert, wenn die Matrix $A$ geringf\"ugig gest\"ort wird. Das Stabilit\"atsverhalten wird von den Nullstellen des charakteristischen
Polynomes bestimmt (und von der Gr\"{\ss}e der Jordan-Bl\"ocke). Wir w\"urden deshalb gerne ein Resultat verwenden,
das besagt, dass die Nullstellen eines Polynoms stetig von den Koeffizienten abh\"angen. Das kann nat\"urlich nur f\"ur den
komplexen Fall stimmen: im reellen Fall macht selbst die Anzahl der Nullstellen Spr\"unge. Aber auch im komplexen Fall
gibt es Schwierigkeiten: es l\"asst sich keine stetige Funktion finden, die jedem Polynom stetig einen Vektor von Nullstellen
zuordnet; nicht einmal f\"ur Grad 2, wo es sogar eine L\"osungsformel gibt. Das Problem ist die Mehrdeutigkeit der Wurzeloperation
im komplexen.

Zun\"achst soll sichergestellt werden, dass die Anzahl der Nullstellen, mit Vielfachheit gez\"ahlt, gleich dem Grad des Polynoms
ist. Das ist der Fundamentalsatz der ALgebra. Wir ben\"otigen ein Lemma, das die Nullstellen eines Polynoms beschr\"ankt.

\begin{lemma} \label{lem:rb}
Es sei $p:=X^d+b_1X^{d-1}+\dots+b_d$ ein Polynom von Grad $d$, $b_1,\dots,b_d\in\C$. 
Es sei $e>0$.
Es sei $M\in (0,\infty)$ eine reelle Zahl, sodass $|b_i|<\frac{M^i}{d+1}$ f\"ur $i=1,\dots,d$ und $e<\frac{M^d}{d+1}$ gilt.
Dann gilt f\"ur jedes $z$ mit $|z|>M$ die Ungleichung $|p(z)|>e$.
Insbesondere hat $p$ keine Nullstelle mit Betrag gr\"o{\ss}er als $d$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Es sei $|z|>M$.
Dann gelten f\"ur $i=1,\dots,d$ die Ungleichung $|b_iz^{d-i}|<\frac{|z^d|}{d+1}$ und obendrein $e<\frac{|z^d|}{d+1}$.
Aus der Dreiecksungleichung folgt
\[ |p(z)| = |z^d+\sum_{i=1}^db_iz^{d-i}| > |z^d|-\sum_{i=1}^d|b_iz^{d-i}| > |z^d|-d\frac{|z^d|}{d+1} = \frac{|z^d|}{d+1} > e . \]
\end{proof}

\begin{thm}[Fundamentalsatz der Algebra] \label{thm:fa}
Jedes normierte Polynom $p\in\C[X]$ von Grad $d$ l\"asst sich schreiben als Produkt von $d$ Linearfaktoren
\[ p = (X-a_1)(X-a_2)\cdots (X-a_d) \]
mit $a_1,\dots,a_d\in\C$.
\end{thm}

\begin{proof}[Beweis]
Es reicht zu zeigen, dass $p$ eine Nullstelle hat. Wenn $a$ eine Nullstelle ist, dann ist $(z-a)$ ein Faktor, und der
Quotient ist von kleinerem Grad. Mit Induktion kann man die Behauptung zeigen.

Wir nehmen indirekt an, dass $p$ keine Nullstellen hat. Die Menge $\{z\mid p(z)\le p(0) \}$ ist abgeschlossen 
wegen Lemma~\ref{lem:rb} beschr\"ankt,
also kompakt. Also nimmt die Funktion $z\mapsto |p(z)|$ auf dieser Menge ein Minimum an, and dieses Minimum ist auch das globale Minimum
der Funktion $z\mapsto |p(z)|$ auf ganz $\C$. Es sei $z_0$ eine Minimalstelle. Die Taylorentwicklung von $p$ um $z_0$ sei
\[ p(z_0+w) = b_0+b_1w+b_2w^2+\dots+b_dw^d . \]
Es gilt $b_0\neq 0$, sonst w\"are $z_0$ eine Nullstelle, und $b_d=1$. Es sei $k$ der kleinste positive Index mit $b_k\neq 0$.
Wir w\"ahlen nun $s>0$, sodass die Ungleichungen $|b_i|s^i<\frac{|b_k|s^k}{d+1}$ f\"ur $i=k+1,\dots,d$ und $|b_k|s^k<|b_0|$ erf\"ullt sind.
Als n\"achstes w\"ahlen wir $w\in\C$ mit $|w|=s$, sodass $\frac{b_kw^k}{b_0}$ reell und negativ ist. Dann ist 
\[ |p(z_0+w)| \le |b_0+b_kw^k|+\sum_{i=k+1}^d|b_iw^i| = |b_0|-|b_k|s^k+\sum_{i=k+1}^d|b_i|s^i \le \]
\[ \le |b_0|-|b_k|s^k+(d-k)\frac{|b_k|s^k}{d+1} = |b_0|-\frac{(k+1)|b_k|s^k}{d+1} < |b_0| = |p(z_0)| , \]
ein Widerspruch.
\end{proof}

Wir brauchen noch eine Art Stetigkeits-Aussage f\"ur die Abh\"angigkeit der Nullstellen vom Polynom.
Dazu definieren wir f\"ur fixed $d\in\N$ eine stetige Funktion $z_d$ von $\C^d$ in die Menge $P_d$ aller normierten Polynome
vom Grad $d$ wie folgt.
\[ (a_1,\dots,a_d) \mapsto (X-a_1)\cdots (X-a_d) . \]
Das Polynom $z_d(a_1,\dots,a_d)$ ist also das Polynom, das als $a_1,\dots,a_d$ als Nullstellen hat, mit der richtigen Vielfachheit.

\begin{lemma} \label{lem:open}
Die Abbildung $z_d$ ist offen: das Bild jeder offenen Menge ist offen.
\end{lemma}

\begin{proof}[Beweis]
Es sei $U\subset \C^d$ offen.
Es sei $V$ die Menge aller Permutationen von Elementen in $U$.
Es sei $p:\N\to (P_d\setminus z_d(V))$ eine Folge im Kompliment von $z_d(V)$, die in $P_d$ konvergent ist.
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra ist $z_d$ surjektiv.
Es sei $n:\N\to\C^d$ eine Folge von Urbildern: f\"ur jedes $i\in\N$ w\"ahlen wir $n(i)\in z_d^{-1}(p(i))$.
Da $p$ eine konvergente Folge ist, ist $p$ beschr\"ankt.
Aus Lemma~\ref{lem:rb} folgt, da{\ss} $n$ beschr\"ankt ist. Daher besitzt $n$ eine konvergente Teilfolge $n':\N\to\C^d$.
Es sei $p':\N\to P_d$ die entsprechende Teilfolge von $p$ (d.h. $p'(i)= z_d(n'(i))$ f\"ur alle $i$).
Die Menge $V$ ist offen als Vereinigung (endlich vieler) offener Mengen.
Das Komplement von $V$ ist daher abgeschlossen.
Also ist $\lim_{i\to\infty}n'(i)$ im Komplement von $V$.
Es folgt
\[ \lim_{i\to\infty}p(i)=\lim_{i\to\infty}p'(i)=\lim_{i\to\infty}z_d(n'(i))=
        z_d\left(lim_{i\to\infty}n'(i)\right) \in z_d(\C^d\setminus V)=P^d\setminus z_d(V). \]
Also ist $P^d\setminus z_d(V)$ abgeschlossen und daher ist $z_d(U)=z_d(V)$ offen.
\end{proof}

Lemma~\ref{lem:open} ist eine mathematisch pr\"azise Formulierung dessen, was wir uns vorher als ``eine Art Stetigkeits-Aussage''
gew\"unscht haben. Es erlaubt uns, zu sagen, dass die Menge aller Polynome mit Nullstellen in einer festgelegten offenen Teilmenge
von $\C$ -- zum Beispiel der Menge der Zahlen mit negativem Realteil -- eine offene Menge ist. Wenn man ein Polynom $p$ in dieser Menge
hat, dann gibt es ein $\epsilon>0$, sodass jedes Polynom in einer $\epsilon$-Umgebung von $p_0$ wieder Nullstellen in der
festgelegten offenen Teilmenge hat.

Wir wollen das Lemma nun anwenden auf charakteristische Polynome von Matrizen.

\begin{thm} \label{thm:Ast}
Es sei $n\in\N$ und $a,b\in\N$ mit $a+b=n$.
Die Menge ${\cal H}_{a,b}\subset\R^{n\times n}$ aller Matrizen, die $a$ Eigenwerte mit negativem Realteil und $b$ Eigenwerte
mit positivem Realteil haben, wobei die Eigenwerte mit (algebraischer) Vielfachheit gez\"ahlt werden, ist eine
offene Teilmenge von $\R^{n\times n}$. 
\end{thm}

\begin{proof}[Beweis]
Es sei $A$ die Menge aller komplexen Zahlen mit negativem Reilteil und $B$ die Menge aller reellen Zahlen mit positivem
Realteil. Die Menge $A^a\times B^b$ ist offen in $\C^n$. Nach Lemma~\ref{lem:open} ist $z_n(A^a\times B^b)$ offen
in $P_d$. Die Teilmenge $P_{a,b}$ der reellen Polynome in $z_n(A^a\times B^b)$ ist dann auch offen in $\R^n$. Die Abbildung,
die jeder Matrix ihr charakteristisches Polynom zuordnet, ist stetig. Und ${\cal H}_{a,b}$ ist das Urbild von $P_{a,b}$
unter dieser Abbildung, also ebenfalls offen.
\end{proof}

Wenn wir also eine lineare Differentialgleichung mit einer Matrix $A\in {\cal H}_{a,b}$ haben, dann k\"onnen wir die eine
$\epsilon$-Umgebung von $A$ finden, die immer noch in ${\cal H}_{a,b}$ enthalten ist. Wenn $A$ geringf\"ugig gest\"ort wird,
genauer gesagt, die St\"orung $||A_1-A||$ ist kleiner als $\epsilon$, dann haben $A_1$ und $A$ die gleiche Anzahl von Eigenwerten
mit negativem Realteil, und beide Matrizen haben keine Eigenwerte mit Realteil gleich Null. Es folgt, dass der Nullpunkt genau dann
stabil f\"ur $A$ ist (und wenn ja, dann immer auch asymptotisch stabil), wenn er stabil f\"ur $A_1$ ist. Das Stabilit\"atsverhalten
bleibt also unter kleinen St\"orungen der Matrix erhalten.

Die Anzahl der Nullstellen mit positivem bzw. negativem Realteil (also $a$ und $b$ im Satz~\ref{thm:Ast}) bleibt ebenfalls erhalten
unter kleinen St\"osungen (unter der Voraussetzung $a+b=n$). Im Fall $n=1$ nennen wir den Nullpunkt eine Senke f\"ur $(a,b)=(2,0)$,
eine Quelle f\"ur $(a,b)=(0,2)$, und einen Sattelpunkt f\"ur $(a,b)=(1,1)$. Im h\"oherdimensionalen Fall geben die Werte von $a$ und $b$
nich eine feinere Unterscheidung von Sattelpunkten.

\end{document}

\section{Existenz und Eindeutigkeit}

Das Haupt-Thema dieses Kapitels ist der Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Anfangswertproblems. Nach den \"Uberlegungen
in Kapitel~\ref{sec:solve} ist vielleicht klar, dass das Zeigen von Existenz und Eindeutigkeit durchaus ein wesentlicher Betandteil
des ``L\"osens'' eines AWP sein, wenn zum Beispiel ein allgemeines Verfahren existiert, das den Wert einer L\"osung berechnet
{\em unter der Voraussetzung, dass eine solche existiert und eindeutig ist}. Hier ist die genaue Formulierung des Satzes
in der Form, wie wir ihn beweisen werden.

\begin{thm}[Picard/Lindel\"of] \label{thm:pl}
Es sei $T$ eine zusammenh\"angende Teilmenge von $\R$ (also ein Intervall, offen oder abgeschlossen, beschr\"ankt oder unbeschr\"ankt).
Es sei $k\in\N$.
Es sei $F:T\times\R^k\to\R^k$ eine stetige Funktion, die die Lipschitz-Bedingung erf\"ullt:
es existiert eine Konstante $L\in\R$, soda{\ss} f\"ur alle $x\in T, y,z\in\R^k$ gilt
$||F(x,y)-F(x,z)||\le L||y-z||$. Es sei $t_0\in T$, $x_0\in\R^k$. 
Dann hat das Anfangswertproblem f\"ur $f:T\to\R^k$
\[ f'(t)=F(t,f(t)), \ f(t_0)=x_0 \]
eine eindeutige L\"osung $y:T\to\R^k$.
\end{thm}

Wenn $F$ die Lipschitz-Bedingung erf\"ullt, sagen wir, dass $F$ Lipschitz-stetig in der zweiten Variable ist.

Bevor wir uns dem Beweis zuwenden, hier ein paar Bemerkungen zur des Reichweite des Satzes.

\begin{enumerate}
\item Die Lipschitz-Bedingung ist st\"arker als die Bedingung der Stetigkeit von $F$, die wir bis jetzt immer gemacht haben.
	Beispiele von stetigen Funktionen, die nicht Lipschitz-stetig sind, sind $(x,t)\mapsto x^2$ 
	oder $(x,t)\mapsto \sqrt[3]{x}$, beide definiert auf $\R\times\R$. Wir wissen bereits, das f\"ur diese beiden rechten
	Seiten der Satz falsch w\"are: im ersten Fall ist die L\"osung nicht auf ganz $\R$ definiert, und im zweiten Fall
	hat das AWP mit Anfangswert $0$ mehr als eine L\"osung.
\item Wenn wir $T$ in \"uberlappende Teilintervalle zerlegen k\"onnen, sodass $F$ in jedem Teilintervall Lipschitz-stetig
	ist, dann gilt die Schlussfolgerung des Satzes auch. Existenz und Eindeutigkeit auf $T$ ist n\"amlich
	equivalent zur Existenz und Eindeutigkeit auf jedem Teilintervall. Man kann die eindeutige L\"osung auf $T$ aus den
	L\"osungen auf Teilintervallen zusammenst\"uckeln, indem man die Anfangsstellen in den Schnittpunkten der Intervalle w\"ahlt.
\item Im linearen Fall -- sowohl homogen als auch nichthomogen -- ist Lipschitz-Stetigkeit equivalent zur Stetigkeit, wenn wir
	$T$ als kompakt annehmen. Diese Annahme der Kompaktheit ist ja kein Problem wegen Punkt (2) oben.
\item Wenn $F$ stetig ist und nach $x$ stetig differenzierbar ist (d.h. wenn die matrixwertige Funktion 
	$(t,x)\mapsto\frac{\partial F(t,x)}{\partial x}$ existiert und stetig ist), dann ist die Lipschitzbedingung ebenfalls
	auf jedem kompaktem Intervall $T$ erf\"ullt - hier nimmt man als $L$ eine Schranke f\"ur die Operatornorm der
	Ableitung.
\item Das AWP f\"ur Differentialgleichungen h\"oherer Ordnung kann auf das AWP erster Ordnung zur\"uckgef\"uhrt werden
	(hier sind die Anfangswerte von allen Ableitungen bis Ordnung minus eins vorzugeben). Bei dieser R\"uckf\"uhrung bleibt
	die Lipschitz-Bedingung erhalten, also gibt es auch eine Version von Satz~\ref{thm:pl} f\"ur Differentialgleichungen
	h\"oherer Ordnung.
\item Es f\"allt auf, dass der Satz f\"ur den nicht-autonomen Fall formuliert ist, obwohl der ja auf den autonomen Fall
	zur\"uckgef\"uhrt werden. Der Grund ist, dass diese R\"uckf\"uhrung leider die Lipschitz-Bedingung zunichte macht, und
	ohne eine nicht-autonome Version des Satzes~\ref{thm:pl} w\"urden wir f\"ur den wichtigen Fall der linearen nicht-autonomen
	Gleichungen keine Aussage bekommen. -- Der lineare nicht-autonome Fall ist, unter uns gesagt, tats\"achlich der Hauptgrund
	f\"ur das Beibehalten der Variablen $t$ als Argument von $t$. In allen anderen Anwendungen werden wir voraussetzen,
	dass $F$ nicht von $t$ abh\"angt.
\item Im autonomen Fall ist $F$ unabh\"angig von der Zeitvariable und kann also Funktion $\R^k\to\R^k$ aufgefasst werden. In
	vielen F\"allen ist $F$ nur auf einer offenen $U\subset\R^k$ definiert. Es w\"are dann unvern\"unftig, die Existenz
	einer L\"osung beweisen zu wollen; es kann ja jederzeit passieren, dass die L\"osung den Bereich $U$ verl\"asst.
	Was wir statt dessen machen k\"onnen, ist, lokale Eindeutigkeit zu zeigen und die eindeutige L\"osung bis an den Rand
	von $U$ verfolgen.
\end{enumerate}

Dem Punkt~7 k\"onnen wir mit folgender Folgerung aus Satz\ref{thm:pl} ``Ausdruck verleihen''.

\begin{corollary}
Es sei $U\subset\R^k$ offen, und $F:U\to\R^k$ eine Lipschitz-stetige Funktion.
Dann existiert eine eindeutige Schranke $t_1\in ((0,\infty)\cup\{+\infty\}$, sodass das AWP f\"ur $f:\R\to U$
\[ \forall t: f'(t)=F(f(t)), \ f(0)=x_0 \] 
auf $(0,t_1)$ eine eindeutige L\"osung $f$ hat, und, falls $t_1\neq +\infty$, sich $f$ stetig nach $t_1$ fortsetzen l\"a{\ss}t mit
einem Wert auf dem Rand von $U$.
\end{corollary}

\begin{proof}[Beweis]
Wir definieren eine Fortsetzung $H:\R^k\to\R^k$ von $H$, die wieder Lipschitz-stetig ist. Es ist nicht klar, dass das immer
geht, aber nehmen wir mal an es geht. Das AWP f\"ur $h:\R\to\R^k$
\[ \forall t: h'(t)=H(h(t)), \ h(0)=x_0 \] 
hat nach Satz~\ref{thm:pl} eine eindeutige L\"osung. Nun brauchen wir nur noch 
\[ t_1 := \min\{ t\mid h(t)\not\in U \} \]
zu definieren, wobei das Mininum der leeren Menge als $+\infty$ definiert ist. 

Die Behauptung, dass man Lipschitz-stetige Funktionen Lipschitz-stetig fortsetzen kann, wird gleich noch bewiesen.
\end{proof}

\begin{lemma}
Es seien $m,n\in\N$. Es sei $U\subset\R^m$. Dann jede Lipschitz-stetige Funktion $f:U\to\R^n$ eine Lipschitz-stetige Fortsetzung
$h:\R^m\to\R^n$.
\end{lemma}

\begin{proof}[Beweis]
Eine Funktion $x\mapsto (f_1(x),\dots,f_n(x))$ ist genau dann Lipschitz-stetig, wenn alle Komponenenten $f_1,\dots,f_n:U\to\R$
Lipschitz-stetig sind. Deshalb reicht es, die Behauptung f\"ur $n=1$ zu zeigen.

Im Fall $n=1$ definieren wir
\[ h(x) = \sup\{ f(y)-L||x-y||\mid y\in U \} , \]
wobei $L$ eine Lipschitz-Konstante f\"ur $f$ ist.
\end{proof}

%\section*{Literatur}

%\begin{itemize}
%\item[~] {\em }, . , .
%\end{itemize}


\end{document}

