Gleichgewichtspunkte und Stabilität (Definition)

Definition 10   Es sei $k$ eine positive ganze Zahl, $U$ eine offene zusammenhängende Teilmenge des $\mathbb{R}^k$ , $F:U\to\mathbb{R}^k$ ein Vektorfeld. Eine Punkt $x\in U$ heißt Gleichgewichtspunkt oder Equilibrium von $F$ wenn $F(x)=0$ ist.

Für jeden Gleichgewichtspunkt $x$ hat die Differentialgleichung $\vec{y}'(t)=F(\vec{y}(t))$ eine konstante Lösung $t\mapsto x$ .

Definition 11   Ein Gleichgewichtspunkt $x\in U$ heißt stabil, wenn für jedes $\epsilon>0$ ein $\delta>0$ existiert, sodaß jede Lösung $\vec{y}$ mit Startwert $\vert\vert\vec{y}(0)-x\vert\vert<\delta$ für $t>0$ definiert ist und dort $\vert\vert\vec{y}(t)-x\vert\vert<\epsilon$ erfüllt.

Ein stabiler Gleichgewichtspunkt heißt asymptotisch stabil, wenn zusätzlich gilt: es existiert $\epsilon>0$ , sodaß jede für Lösung $\vec{y}$ mit Startwert $\vert\vert\vec{y}(0)-x\vert\vert<\epsilon$ gilt:

$$\lim_{t\to\infty} \vec{y}(t) = x .$$

Für diskrete dynamische Systeme der Form

$$\forall n\in\mathbb{N}: y_{n+1}=F(y_n) ,$$

wobei $F:U\to U$ eine stetige Funktion ist, wird Stabilität bzw. asymptotische Stabilität genauso definiert wird (hier steht dann $t$ ausnahmsweise für eine natürliche Zahl).

Literatur:

[2, I.1.3], [3, X.65]