Rückführung auf Systeme erster Ordnung

Es sei $D\subset\mathbb{R}$ ein offenes Intervall (möglicherweise unbeschränkt). Eine Differentialgleichung für $x:D\to\mathbb{R}$ von Ordnung $k>1$ der Form

$$\forall t\in D: x^{(k)}(t) = F(t,x(t),x'(t),\dots,x^{(k-1)}(t) ) ,$$

wobei $F:D\times\mathbb{R}^k\to\mathbb{R}$ eine gegebene Funktion ist, läßt sich durch Einführung der Funktionen

$$y_1=x, y_2=x',\dots, y_k=x^{(k-1)}$$

auf das System von Differentialgleichungen

$$\forall t\in D: y_1'(t)=y_2(t), \dots, y_{k-1}'(t)=y_k(t),$$

$$y_k'(t) = F(t,y_1(t),\dots,y_k(t) )$$

zurückführen. Dieses System kann auch aufgefaßt werden als eine Differentialgleichung für eine vektorwertige Funktion $\vec{y}:D\to R^k$ .

Die obige Rückführung erhält die Linearität einer Differentialgleichung.

Durch die Einführung einer neuen Variable $y_{k+1}:D\to\mathbb{R}$ und einer neuen Gleichung

$$\forall t\in D: y_{k+1}'(t)=1$$

kann sogar auf den ``zeitunabhängigen'' oder ``autonomen'' Fall zurückgeführt werden, bei dem dir rechte Seite nicht von $t$ abhängt. Diese Rückführung erhält aber die Linearität nicht mehr.

Analoge Rückführungen sind für den diskreten Fall möglich. Hier kann auf Rekursionsgleichungen erster Ordnung zurückgeführt werden.