Es sei ein beschränktes Intervall, stetig differenzierbar, . Unter den Funktionen , die die Randbedingung erfüllem sucht man eine, die das Integral minimieren. Für Lösungen dieses Variationsproblems gibt der folgende Satz eine notwendige Bedingungung an.
wobei man verwendet daß der erste Summand in der partiellen Integration wegen verschwindet. Weil das Integral für jede solche Funktion gleich Null ist, muß der Faktor in der eckigen Klammer identisch verschwinden, das heißt die Euler-Lagrange-Gleichung ist erfüllt.
Ein einfaches Beispiel ist das Problem der kürzesten Verbindung. Hier wählt man . Die Euler-Lagrange-Gleichung ist . Die Lösung ist natürlich die Gerade.
Ein weiteres Beispiel ist das Problem der schnellsten Verbindung (Brachystochrone) unter dem Einfluß der Schwerkraft: am Punkt ist die Geschwindigkeit , wobei die Erdbeschleunigung ist. Man setzt . Die Euler-Lagrange-Gleichung ist . Die Lösungskurve ist eine Zykloide, mit der Parameterdarstellung
Variationsprobleme mit einer Nebenbedingung der Art , wobei stetig differenzierbar ist und ist, können mit der Methode des Lagrange-Multiplikators behandelt werden. Sie führt auf die Gleichung
wobei so gewählt wird, daß die Nebenbedingung erfüllt ist.