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Variation der Konstanten für Systeme

Es sei $ D\subset\mathbb{R}$ ein reelles Intervall. Es sei $ D\to\mathbb{R}^{n\times n}$ eine matrix-wertige stetige Funktion. Für eine vektorwertige Funktion $ y:D\to\mathbb{R}$ betrachtet man die homogene lineare Differentialgleichung mit variablen Koeffizienten

$\displaystyle \forall t: y'(t)-A(t)y(t)=0 .$ (6)

Nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz (wird später behandelt) ist das Anfangswert für diese Gleichung für jede Stelle $ t_0$ und Anfanswert $ x_0\in\mathbb{R}^n$ eindeutig lösbar. Für fixes $ t_0$ definieren wir eine matrix-wertige Funktion $ B_{t_0}:D\to\mathbb{R}^{n\times n}$ , deren $ m$ -te Spalte die Lösung von Gleichung 6 mit $ y_m(t_0)=e_m$ (der $ m$ -te Einheitsvektor) ist. Wegen der Linearität ist die Lösung mit Anfangsvektor $ y(t_0)=x$ gleich $ y(t)=B_{t_0}(t)x$ . Für jedes $ t_0\in D$ und $ t$ ist $ B_{t_0}(t)$ invertierbar, die inverse Matrix ist $ B_t(t_0)$ . Die Matrixfunktion $ B_{t_0}$ erfüllt die Differentialgleichung $ (B_{t_0})'=AB_{t_0}$ .

Wenn $ B_t$ bekannt ist, kann man die inhomogene Gleichung

$\displaystyle \forall t: y'(t)-A(t)y(t)=b(t) ,$ (7)

wobei $ b:D\to\mathbb{R}^n$ eine gegebene stetige Funktion ist, durch den Ansatz $ y(t)=B_{t_0}z(t)$ lösen. Nach Einsetzen und Kürzen erhält man $ B_{t_0}(t)z'(t)=b(t)$ oder äquivalent dazu

$\displaystyle z'(t) = (B_{t_0}(t))^{-1}b(t) , $

und eine spezielle Lösung von (7) kann durch Integration berechnet werden. Die allgemeine Lösung von (7) läßt sich schreiben als spezielle Lösung plus allgemeine Lösung der homogenen Gleichung (6).

Literatur:
[3, VIII.58]


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Josef Schicho 2016-01-17